Zahleutheorie.
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drei aus Saundersons Algebra entnommen sind und aut der Auf-lösung unbestimmter Gleichungen ersten Grades beruhen. in derersten sollen Vielfache von zwei ungleichen ganzen Zahlen a. L, derenDifferenz eine Minimalzahl m sei, gefunden werden. Die Minimalzahlwird durch den Algorithmus des größten gemeinschaftlichen Divisorsgefunden; dann wird ax — by = + m aufgelöst. Die zweite Aufgabe,zwei positive ganze Zahlen zu bilden, die durch zwei Divisoren (Tund d" dividiert die Geste r und r" lassen, wird auf Kalenderfragen,betreffend Sonnen- und Mondzykeln, angewandt.
Jean Joseph ltallier des Ourmes (1701—1771) von liennes,welcher arithmetische Artikel für die große französische Enzyklopädieschrieb und Regeln zum Aufsuchen von Primzahlen vorschlug 1 ),schrieb auch einen Aufsatz 2 ), worin er eine schnelle Methode, n ganzeZahlen zu bilden, angibt, wenn man das Produkt einer jeden mit derSumme der übrigen kennt. Hat inan z. B.
x{y + z) = 49, n (x + z) = 45, z (x + //) = 24,wo n - 3 ist, soll man die n — 1 kleineren Zahlen in Faktorenpaare
zerlegen, so: für 24, * * • 2 • ^ ffür 45, \ \ Nun suche man
07 7 24 12 8 h 7 7 4o 15 9
diejenigen Faktorenpaare aus, deren Faktoren eine gleiche .Summehaben. Diese sind . Die kleineren Faktoren 2 und p sind zwei
der gesuchten Zahlen, und die dritte ist 14 — 2 — 5 = 7. Man hatalso x = 7, y = 5, z = 2.
Der Astronom Joseph Stepling (1710 —1778) führt Beweiseeiniger Eigenschaften des Neuners 3 ) an. Er zeigt z. B., daßwenn n irgend eine Ziffer ist. die Ziffern des Produktes 9 n die Summe9 haben.
Im Jahre 1788 veröffentlichte A. G. Kästner die Lösung derfolgenden unbestimmten Aufgabe 4 ): Drei Bäuerinnen (M. J>, (J) habenje eine gegebene, von der andern unterschiedene Anzahl Eier ( a , b, c).Jede verkauft ihre Eier auf zweimal, das erstemal eine so teuer alsdie andere (m), und so auch das zweitemal («). Am Ende hat einesoviel gelöst wie die andere. Wieviel von ihren Eiern hat jede daserstemal verkauft (x y, z) Q> . Und wie verhalten sich die Preise des
ersten und des zweiten Verkaufs j V Man erhält die Gleichungen
mx + n (a — x) = my + n (b — y) = mz n(c — z), wo «, b, c. x, y, z,
*) Memoires de math. et de phys. . . . Tome V, 176«, p. 485—499.
*) Ebenda, Tome V, Paris 1768, p. 479—484. s ) Abh. einer Privatgesellscb.
in Böhmen, 1. Bd., Prag 1775, S. 141—144. *j Leipziger Magazin f. d. r.