Kombinatorik.

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sei gedacht 1 ), in der die Binoraialform ohne Berücksichtigung derKonvergenzfrage allgemein bewiesen werden soll. Segner setzt

1 + (’.')“+ (■¥■)«*+(;)«*+—

wo n eine ganz beliebige Größe bedeutet, beweist kombinatorisch dieGleichung S r ■ S m — S m + r , darauf direkt <S) = 1 + e und dann derReihe nach S n = (1 + e) n für ganze positive, für gebrochene positive,für negative und endlich als Grenzfall für irrationale Zahlen. Vone sagt Segner, er W'erde „im allgemeinen“ kleiner als 1 angenommen.Man erkennt leicht die Ähnlichkeit seiner Schlüsse mit denen desersten Euler sehen Beweises.

Wir kehren von dieser Einschaltung zu unserem eigentlichenThema zurück.

Die Aufgabe der Potenzierung des Infinitinoms 2 ) fordert die Be-stimmung des allgemeinen Gliedes in der Entwicklung einer derF ormen

(« + b + c + d + • • ■)"* und (1 -f- uz + ßz 2 + yz 3 + • •

deren zweite nach Potenzen von z geordnet zu denken ist. Uberdie Behandlung dieser Probleme durch A. de Moivre, Leibniz ,Jak. Bernoulli wurde früher bereits berichtet. Die erste daraufbezügliche Untersuchung Hindenburgs bezieht sich auf die erstedieser Formen, die zweite Untersuchung auf die letzte, und die dritteVeröffentlichung ist im wesentlichen nur ein Abdruck der beidenersten nebst einigen Erweiterungen und einer voraufgeschickten, sehrausführlichen Geschichte des Problems 3 ;. Wir gehen etwas näher aufdie Besprechung dieser drei Arbeiten ein.

Durch die Benutzung der Permutationen oder der Kombinationenhatte man den Ausdruck für die Polynomialkoeffizienten in

(a + b + c + • • •)”

für jedes Aggregat afVc 7 . . . ohne weiteres aufschreiben können.Aber diese Methode hatte den nicht zu unterschätzenden Nachteil imGefolge, daß die Gültigkeit der Formel sich auf ganze positive Ex-ponenten beschränkte. Um diesem Mangel abzuhelfen, hatte eben

') Nouv. Mem. de Berlin 1777, p. 37. *) Dieser Ausdruck stammt nach

Pfaff, „Bemerkungen über eine besondere Art von Gleichungen“ (DerpolynomischeLehrsatz, p. 150 Anm.) von Ernst Gottfried Fischer . s ) I. Infinitinomii

dignitatum indeterminarum leges ac formulae. Gotting. 1778. II. Methodusnova et facilis serierum infinitarum exhibendi dignitates exponentis indeterminati.Gotting. 1778. III. Infinitinomii dignitatum exponentis indeterminati historia,leges ac formulae, editio pluribus locis aucta et passim emendata. Gotting. 1779.