Kombinatorik.

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Abzählungsprinzip zu verwenden, hier und später, trotz ihrer Unüber-sichtlichkeit und Unbequemlichkeit noch bei. Ähnlich bezeichneter generell die Polynomialkoeffizienten durch

a, b, c, b, e, . . .;

die Buchstaben haben hier, je nach den Potenzprodukten, mit denensie verbunden sind, verschiedene zahlenmäßige bei gleicher begrifi-licher Bedeutung. So ist z. B.

b (z 4 + x s y + xtfz + xyzu H-) = + gty,

+ l!2!l!^+l!imi <XyZU + --;

5 !

t(x i + x i y + x s y 2 + x s yz + x*y 2 z -)-) = 6 j + 4,71

+ 3T2!^ 2 + 3!lTl! J; ^ Ä + 2!2!l! a;2 ^^ + "'

Man sieht, daß ein Symbol wie £) allerlei bedeuten kann, indem z. B.

f )x 2 \f = ö 99 ic 8 ?/ 6 , f )x 3 y i = 8 6^ s y 5 , t )x i y i = 8 ®:r 4 ?/ 4 , .. .

wird, so daß also eine deutliche Inkongruenz zwischen der Bezeichnungbei den Binomial- und der bei den Polynomialkoeffizienten zutage tritt.

Die Bezeichnung der verschiedenen Klassen bei Kombinationenund Variationen geschieht in ähnlicher Weise. Dabei unterscheidetHindenburg die Kombinationen und Variationen „an sich“, d. h.ihre Gesamtheit, und die „zu bestimmter Summe“ der als Zahlengenommenen Elemente. Zugleich ist zu bemerken, daß es sich dabeinicht um bloße Anzahlbestimmungen handelt, sondern daß die be-zeichnenden Symbole die Aufstellung aller geforderten Komplesionenselbst andeuten sollen. Darin beruht eine Ergänzung früherer Unter-suchungen der Bernoullis und Eulers, die den Kombinatorikernbesonders wichtig erschien.

Bei Hindenburg bedeuten

'A, 'B, 'C, 'D, . . . Kombinationen erster, zweiter, dritter, . . . Klasseohne Wiederholungen,

A', B', C', D', . . . Kombinationen erster, zweiter, dritter, . . . Klassemit Wiederholungen,

, A, ’B, ’C, ’D, . . . Variationen erster, zweiter, dritter, . . Klasse

ohne Wiederholungen,

A', B ', C, D', . . . Variationen erster, zweiter, dritter, . . . Klasse

mit Wiederholungen.

Es ist also zu setzen