Kombinatorik.

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Lokalsumme A zu übersetzen. So beantwortet er denn die Fragedurch das auszuführende Symbol für Kombinationen, in dem N dieft 1 ® Klasse generell repräsentiert,

Von diesen Kombinationen kommt er durch Hinzufügung des Zeichensfür Polynomialkoeffizienten zu den Variationen, und die Lösung derAufgabe wird durch ?/"'!A = iPN-.z* vermittelt. Für die Koeffizientenvon q m gilt die Gleichung

q m x(k + 1) = m 9la‘A + ”‘93b*B + "‘&c*C + • • •;

in ihr ist das Hauptresultat der Hindenburgschen Untersuchungenenthalten. Sie gibt also ein mechanisches Verfahren, um den Koef-fizienten von z‘- in (1 uz -f ßz 2 + • • ■)™ zu bestimmen.

Ist eine Summe a + bx + cx 2 + dx 3 + ■ ■ • vorgelegt, in die fürx zu substituieren ist 1 + az -+- ßz 2 + y^ + • ■ •, so ist nach der Be-stimmung von x 2 , x s , ... die Substitution in den einzelnen Summandenvorzunehmen. Das nennt Iiindeuburg „die Methode der Potenzen“.Auf sie ist er besonders stolz.

Die besprochene Verwendung der Kombinatorik bei Potenz-erhebung zeigt uns, wie Hindenburg zu seinen Untersuchungen ge-führt wurde 1 ). „Bisher hatte man sich in der Kombinationslehre fastnur allein um die Menge und Anzahl der Verbindungen und Ver-setzungen gegebener Dinge gekümmert 2 ), ihre wirkliche Darstellungaber, die für die Analysis so wichtig ist, fast ganz übergangen odernur jener Zahlen wegen in Betrachtung gezogen. Hier war also nochviel zu tun übrig; und es ist in der Tat unbegreiflich, wie ein sogroßes, fruchtbares Land so lange hat unbebaut liegen bleibenkönnen.“

Zur Untersuchung der Variationen führte ihn das Problem derMultiplikation von verschiedenen Reihen, wie ihn die von gleichenReihen auf das Studium der Kombinationen geleitet hatte. Ist etwa bei

p = ax + bx 2 + ex 2 q = ux + ßx 2 + yx 8 + • • •,

r = ax + ba: 2 + cz 3 + • ■ ■

das Produkt pqr zu bilden und nach Potenzen von x zu entwickeln,so gilt für den Koeffizienten von x l der kombinatorische Ausdruck

') Leipz. Magazin f. reine u. angew. Math. (1786), Heft 3, p. 323. *) Vgl.

jedoch diese Vorlesungen, Bd. III S , S. 342 angeführte Tabelle des Franciscusvan Schooten.