214

Abschnitt XXI.

mit den Zeigern

pgr

l c

<1

(

1 2 3 . . Aaßy .. .) ’

/123.lab c .

deren erster, zweiter, dritter die Übersetzung der ersten, zweiten,dritten Elementenzahl der Variationen dritter Klasse zur Summe l indie entsprechenden Lettern vermittelt.

Befremdlich mag es bei den obigen Darlegungen erscheinen, daßdie kombinatorische Schule den Schritt von der Verwendung vonBuchstaben zu Zahlen nur so langsam und gewissermaßen wider-strebend hat tun können; daß sie die Einführung von „Zeigern" nichtdurch die Benutzung von Zahlindizes überflüssig gemacht hat. Unddabei war Hindenburg bereits 1783 zu der Erkenntnis gekommenund hatte sie im § III der oben angeführten „lineae“ zum Ausdruckgebracht, daß die Verwendung von Zahlen als Elemente der vonBuchstaben weit überlegen sei. Allein zu der nötigen Folgerungdrang er nicht vor.

In der gleichen Abhandlung „novi systematis primae lineae“wird die Reihe der Anwendungen der Kombinatorik auf die Analysisausführlich angegeben (§ IV). Es wird angeführt: 1) Multiplikationvon Reihen ; 2) Division von Reihen; 3) Potenzieren und Radizierenvon Reihen; 4) Substitution von Reihen in Reihen ; 5) Elimination;6) Rationalisierung irrationaler Ausdrücke; 7) Interpolation; 8) Trans-formation; 9) Umkehrung von Reihen; 10) Darstellung von trigono-metrischen und anderen transzendenten Punktionen durch Reihen. —Alle diese Probleme, oder genauer nur ihre formale Seite, besprichtHindenburg 1. c. ausführlich und gibt am Schlüsse der Abhandlungzu jedem Problem zugehörige Tabellen mit den fertigen Resultaten dereinfachsten Fälle.

Als Beispiel geben wir eine Formel von J. K. Burckhardt (1773bis 1825), einem unter v. Zach zum Astronomen ausgebildeten Ge-lehrten. Sie gehört zur Anwendung 10) und lautet 1 )

tang na =

”91 tang a — tang* u taug 6 a —

1 — ”33 tang* a -)- tang 4 a —

Das am meisten, am eingehendsten und mit dem größten Erfolgebehandelte Problem war das der (formalen) Umkehrung unendlicherReihen „reversio serierum“. Ist die Reihe

y? = a 0 x a + a l x a + lS + a. i x a + 2ä + • • • = p

') „Nova acta Academ. electoralis Moguntiae scientiarum utilium, quaeErfurti est“. I, Erf. 1799, p. 295—316.