Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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dem Peter 1 geben, wenn dieser bei seinem ersten Wurfe mit eiuerMünze Kopf werfe, dagegen 2, 4, 8, 16, . . ., wenn Kopf erst beim2 ten , 3 ten , 4 ten , 5 ten , . . . Wurfe erscheine. Peters Einsatz müßte
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und so ohne Ende weiter, müßte also oo sein. Das widerspricht demgesunden Verstände; wer würde selbst nur eine mäßige Summeals Einsatz bei diesem Spiele wagen? Zur Erklärung dieses Dilemmaswurden am angegebenen Orte zwei Versuche angeführt, der von Cramerund der von Daniel Bernoulli ; hier stoßen wir auf einen dritten.D’Alembert schließt, daß wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereig-nisses sehr klein ist, sie gleich Null gesetzt werden muß; man dürfediese Wahrscheinlichkeit also nicht, wie die Theorie es vorschrieb,mit dem erhofften Gewinne multiplizieren, um die mathematische Er-wartung, d. h. die Höhe des Einsatzes zu finden. Übrigens ward’Alembert nicht der Erste, der auf diese Idee kam; Nicolas I.Bernoulli hatte 1709 ähnliches, aber vorsichtiger ausgesprochen(Vorlesungen IIP, S. 336, Amn. 3); und Buffon schließt inseinem „Essai d’Arithmetique morale“ (Nr. VIII) aus der Betrach-tung der menschlichen Handlungen im gewöhnlichen Leben, daß man
jede Wahrscheinlichkeit, die nicht größer als ist, gleich Null
setzen kann und muß; für einen gesunden Mann von 56 Jahren sei dieWahrscheinlichkeit, binnen 24 Stunden zu sterben, gleich * --■; kein
Mensch aber rechne mit dieser Wahrscheinlichkeit; jeder setze sieeinfach = 0. Diese Anschauung wird von Condorcet (Essai surl’application etc.; Preliminaire p. OVIII) einer kritischen Prüfungunterzogen und widerlegt. Buffon teilte seine Auffassung von kleinenWahrscheinlichkeiten 1762 Daniel Bernoulli mit, der sie untervorsichtiger Einschränkung als „moralische Wahrscheinlichkeit“ gut-hieß. D’Alembert ist sich selbst über die Grenze, unterhalb derendie Wahrscheinlichkeit gleich Null gesetzt werden soll, nicht imklaren.
Es mag hier gleich erwähnt werden, daß Condorcet , überdessen tragische Lebensschicksale wir später berichten werden, in der„Histoire de l’Acad. de Paris “ 1781, p. 707 auf eine Analyse dermathematischen Erwartung {lilh ü fJslh + (/ 3 P 3 + • • • genau eingeht.Zuerst macht er darauf aufmerksam, daß dieser Wert nur als Mittelwert
Geltung hat. Ist g l = 1, so ist die mathematische Erwartung
trotzdem nur Gewinne 0 oder 1, aber nie * Vorkommen können. Die