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Abschnitt XXI.

Regelung der Einsätze muß billigerweise so geschehen, daß 1. derFall, in dem weder Gewinn noch Verlust für einen Spieler eintrifft,der wahrscheinlichste ist; daß 2. die Wahrscheinlichkeit zu «jewinnen

oder zu verlieren, für beide Spieler = * wird. Alan könnte noch

fordern, daß 3. mit der Anzahl der Spiele die Wahrscheinlichkeitwächst, daß der Gewinn- oder Verlustbetrag eine gegebene Größenicht überschreitet, oder daß 4. das Verhältnis dieses Betrages zumhöchsten Gewinn oder Verlust ein beliebig kleines werde. Es zeigtsich, daß durch die Gleichsetzung der mathematischen Erwartungenbeider Spieler die ersten beiden Bedingungen nebst der vierten erfülltwerden, und nur dadurch; daß dagegen 3. überhaupt durch keine An-nahme erfüllbar ist. — Die Wirkung dieser Gleichsetzung tritt abererst in der Folge vieler Spiele hervor. Ist die Wahrscheinlichkeitklein, so muß die Anzahl stark vergrößert werden. Besteht für A beikleinerem Gewinn größere Gewinnaussicht, für B bei größerem Gewinnkleinere Aussicht, so wird bei Wiederholung des Spieles für B mitwachsender Gewinnaussicht der Gewinnbetrag sich vermindern und fürA das Umgekehrte eintreten. Aus seinen Untersuchungen schließtCondorcet , daß beim Petersburger Problem die Gleichsetzung dermathematischen Erwartungen beider Spieler unstatthaft sei, weil ihreAnwendbarkeit erst bei oo 2 -maliger Wiederholung des Spieles eintrete.— Um den Unterschied eines einzelnen Falles vom Durchschnitteeiner Reihe von Fällen zu illustrieren, macht Condorcet darauf auf-merksam, daß ein verständiger Mann es sehr wohl ablehnen kann,eine Summe \ für die Wahrscheinlichkeit p 1 eines Gewinnes von g 1zu geben, ablehnen kann, wenngleich b 1 <.p l g 1 ist; während er ande-rerseits für eine Summe b 2 die Wahrscheinlichkeit p 2 eines Gewinnes g ierkauft, trotzdem b 2 > p 2 g 2 ist; dazu würde ausreichen, daß p 1 sehrklein und p 2 sehr groß ist. Eine kleine Wahrscheinlichkeit gleichNull zu setzen, geht nach Condorcet nicht an; es würde der gleicheFehler sein, als wolle man eine entfernt berührende Tangente miteiner Asymptote verwechseln. — Ähnliche Darlegungen gibt Con-dorcet in dem Werke, auf dessen Besprechung wir bald eingehenwerden, dem „Essai sur lapplication de TAnalyse ä la probabilite desdecisions rendues ä la pluralite des voix“, Paris 1785; Discours pre-liminaires p. LXXIIff. und im Werke selbst p. 138ff. In diesen kri-tischen Beleuchtungen beschäftigt er sich besonders mit den obenerwähnten Anschauungen Buffons, die er zurückweist. Was für diewirklichen Werte der Wahrscheinlichkeiten falsch ist, das könnenicht dadurch richtig werden, daß man den wirklichen Werten falschesubstituiere.