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Abschnitt XXI.
krementen oder Dekrementen jener beiden Größen, und ihn behandelter dann nach den gewöhnlichen Regeln und Vorschriften der Analysis.Natürlich ist dieses Verfahren nicht allgemein bei jeder Aufgabe an-wendbar. Bernoulli sagt darüber 1 ): „Man kann mit Nutzen die In-finitesimalrechnung verwenden, wenn nur die Aenderung, die eiutretenkann, als unendlich klein angesehen werden darf“. Das tritt z. B.ein, wenn aus einer Urne, die eine große Anzahl von Kugeln enthält,einzelne gezogen werden; „denn dann kann die Einheit als unendlichkleines Element betrachtet werden; und man stützt sich auf diegleiche Hypothese, deren sich die Mathematiker vor der Entdeckungder Differential- und Integral-Rechnung bedienten“. In der angeführtenAbhandlung bespricht Bernoulli als Beispiel ein Problem, das er fürandere Zwecke braucht. Er behandelt es zuerst nach der alten unddann nach der bequemeren neuen Methode. Es scheint uns geraten,erst später dieses etwas komplizierte Problem mitzuteilen, und dieMethode lieber an einem anderen, einfacheren darzulegen 2 ).
In einer Urne sind n weiße, in einer anderen n schwarze Ku»eln.Aus jeder wird eine Kugel gezogen und in die andere Urne gelegt;die Ziehungen erfolgen gleichzeitig. Dieselbe Operation wird vonneuem und im ganzen r mal gemacht. Wie groß ist hinterdrein diewahrscheinliche Anzahl x der weißen Kugeln in der ersten Urne?
Die Verwendung der gewöhnlichen Methode gibt x= * «j^l -)-Für ein großes n kann man dies Resultat durch das bequemere
x = „ w[l + e » ]
ersetzen. Hierauf führt die neue Methode direkt. Es werden x undr als stetig veränderliche Größen betrachtet; dr, d. h. die Einheit, seidas Inkrement von r; es fragt sich, wie groß dx : dr ist. Die, mit
der Wahrscheinlichkeit * erfolgende Entnahme einer weißen Kugel
aus der ersten Urne liefert das Dekrement (— 1) für dx\ das mit der
Wahrscheinlichkeit x erfolgende Hineinlegen einer weißen Kugeln ° © ©
in die erste Urne liefert das Inkrement (+ 1) für dx\ folglich wird
dx
dr
+1
d. h.
dx
2x — n
dr
n
Diese Differentialgleichung liefert dann bei richtiger Bestimmung derIntegrationskonstante wieder den Wert
*) Novi Comment. Acad. Petrop. XII, 1766, 1767 (1768), p. 87—98. *) Ibid.
XIV, 1769 (1770), p. 2—25.