Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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x = * n
1 + e n
Die Aufgabe wird nach der Richtung hin erweitert, daß «Urnen mitje n Kugeln vorhanden sind, und daß jede gezogene Kugel in die fol-gende der zyklisch angeordneten Urnen gelegt wird. Durch ein Miß-verständnis wurde Malfatti 1 ) zu einer unberechtigten Kritik dieserArbeit verleitet; nur in einem Punkte müssen wdr ihm beipHieliten,daß nämlich das angeführte Bernoullische Problem nicht mit einemanderen identisch ist, von dem Bernoulli es behauptet. Malfattiselbst behandelt 20, aus der Bernoullischen Annahme folgende Pro-bleme auf elementarem Wege.
Es sei noch erwähnt, daß D. Bernoulli sich der gleichenMethode bedient, um näherungsweise gewisse numerische Rechnungen,die infolge der Höhe der eintretenden Zahlen unbequem und langwierigsind, durch bequemere und kürzere zu ersetzen. So verfährt er inder „Mensura sortis“ usw. (Novi Comment. Acad. Petrop. XIV, für 1769,
p. 26) mit dem Ausdrucke q =durch n + 1 oder durch n — 1
(2 n )!
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ersetzt,
und
findet, je nachdem er n
dq = -
qdn2 n -\- 2
und
dq = —
qdn2 m — 1 ’
er nimmt die arithmetische Mitte der rechten Seiten, erhält
dq = -
qdn
2 n -f-
1
2
und kommt durch Integration auf
q = cst. - -
V4M + 1
Das eben erwähnte allgemeine Approximationsproblem war beider Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie sie in unseremZeitraum geübt wurde, ein sehr naheliegendes und notwendig zu be-handelndes. Dies erkannte auch Laplace nach Bernoulli, wie esStirling vor diesem erkannt hatte. Mit ihm beschäftigt sich La-place eingehend in dem „Memoire sur les approximations des formulesqui sont fonctions de tres-grands nombres“ (Histoire de l’Academ. äParis 1782). Wir kommen später auf diese Arbeiten zurück.
Wenden wir uns wieder zu Daniel Bernoulli , so ist noch zuerwähnen, daß er die erste Anwendung der Infinitesimalrechnung in derWahrscheinlichkeitslehre bereits vor der prinzipiellen, 1766 erfolgtenAnkündigung und Darlegung schon 1760 in dem Aufsatze „Essai
') Memorie mat. e fis. Soc. Ital. I (1782), p. 7(38.