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Abschnitt XXI.

d'une nouvelle analyse de la mortalite causee par la petite veröle etc.“(Histoire de l’Acad. . . . ä Paris 1760 [1766], p. 1—45) gegeben hat;und als Kritiker dieser Arbeit wendet auch d’Alembert (OpusculesII, p. 26 — 95) dieselbe Methode an.

Wir wenden unsere Aufmerksamkeit nunmehr den Arbeiten zu, die,sozusagen, noch im Pascal sehen Boden wurzeln und nach elementarerkombinatorischer Methode eine Reihe von Problemen behandeln, dieden Mathematikern in den Glücksspielen entgegen traten. Es istnatürlich nicht unsere Aufgabe, jede kleinste derartige Arbeit zu be-sprechen; es reicht aus, die bedeutenderen unter ihnen hervorzuheben.

Hinsichtlich der Spiele, die nicht allein vom Zufall, sondern auchvon der Geschicklichkeit der Spieler abhängig sind, macht Laplace(Histoire de l’Academ. Paris [1778], p. 230) folgende Bemerkungen:Es sei überaus unwahrscheinlich, daß beide Spieler die gleiche Ge-schicklichkeit besitzen; die des einen sei 1 + ß, die des anderen1 — ß. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß der stärkere Spieler die

beiden ersten Partien gewinnen wird, =-^-(1 -f-ß) 2 , die, daß derschwächere sie gewinne, =-j-(l — ß) 2 . Nun weiß man von vorn-herein nicht, wer von den beiden Spielern der stärkere ist; danachwird die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmter unter ihnen beideersten Partien gewinnt, gleich dem mittleren Werte, d. h.

= U( L U)' + (‘T“) ! M (! + «->■

Ohne Berücksichtigung der Geschicklichkeiten würde sich * ergeben.

Es ist also nach diesen Überlegungen wahrscheinlicher, daß einer derbeiden Spieler beide ersten Partien gewinnt, als daß der eine die erste,der andere die zweite gewinnt.

Über den Wert von u weiß man zu Beginn der Spiele nichts.Das gibt nach mehreren Richtungen hin zu Untersuchungen Anlaß(1. c. S. 238 ff.). Kennt man für a die Grenzwerte (0, . . ., q) und zu-gleich die Wahrscheinlichkeit ip{a) dafür, daß ein bestimmtes a auf-trete, dann ist der obige Ausdruck durch das Integral

•j

I j-üUOC 1 + cc2 ) da

0

zu ersetzen, wobei ip(a) so beschaffen sein muß, daß (ip{a)da = 1

ö

ist. Es möge ein für allemal hier daran erinnert werden, daß dieseSchreibweise der Integralgrenzen in unserem Zeiträume noch nicht