Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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eingefiihrt ist. — Somit weist dieses Resultat darauf hin, das „Gesetzder Fehler“, d. h. die Funktion zu bestimmen. Das unternimmtLaplace im weiteren Fortgange seiner Untersuchungen. Wir werdendavon bald ausführlich zu sprechen haben.

Die zweite Untersuchungsrichtung, auf die wir auch erst spätereingehen können, ist die folgende: Die anfängliche Unkenntnis derGeschicklichkeiten der Spieler wird im Verlaufe der Spiele einergrößeren und größeren Kenntnis dieser Geschicklichkeiten durch denAusfall der Spiele selbst Platz machen. Hierzu gehört die Möglich-keit, aus einem Ereignis auf seine Ursachen zu schließen. Das istein Problem, das in unserer Epoche zum ersten Male aufgestellt undbehandelt worden ist.

Es möge noch bemerkt werden, daß Laplace in diesem „Me-moire“ nicht bei zwei Spielern und zwei von ihnen zu spielendenPartien stehen bleibt, sondern die Anzahl sowohl der Spieler wie derPartien beliebig groß annimmt. Wir verlassen diese Fragen undgehen auf andere hierher gehörige Probleme ein.

Schon früher] wurde (Bd. IIP, S. 338) erwähnt, daß Moivre1708 die Aufgabe erledigte, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen,daß mit einem gewöhnlichen Würfel in 8 Würfen mindestens 2 maldie 1 geworfen werde. Das Problem wird in unserer Epoche wiederaufgenommen, in erweiterter Form behandelt und gelöst. Lagrange,der sich im zweiten Abschnitte seines Aufsatzes: „Recherches sur lessuites recurrentes . . . ou sur l’integration des equations lineaires auxdifferences finies et partielles; et sur l’usage de ces equations dans latheorie des hasards“ (Nouv. Mem. de TAcad. . . . ä Berlin 1775 [1777],p. 183—272) mit verschiedenen Aufgaben der Wahrscheinlichkeits-theorie beschäftigt, stellt die Fragen allgemein so: Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafür, daß ein Ereignis, dessen Eintreffen bei einemVersuche die Wahrscheinlichkeit p hat, in k Einzelversuchen genauamal eintritt? — oder mindestens amal? Ferner: es kann bei einemVersuche dreierlei eintreffen: entweder, mit der Wahrscheinlichkeit p,das Ereignis A\ oder, mit der Wahrscheinlichkeit q, das Ereignis B-oder, mit der Wahrscheinlichkeit 1 — p — q, keins von beiden; wiegroß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in k Versuchen A min-destens «mal und B mindestens 7; mal auftritt? oder, daß A eher amaleintritt als B seinerseits 5mal? — Der Titel der LagrangeschenAbhandlung zeigt deutlich die Hilfsmittel an, auf die sich die Lösungender Aufgaben stützen, nämlich die rekurrierenden Reihen und die Dif-ferenzengleichungen. Hier knüpfen die Arbeiten Trembleys an.Einer angesehenen Schweizer Familie entsprossen, war er, Jean, ge-boren 1749 in Genf , nicht der erste unter ihren Mitgliedern, der sich

Cantor, Geschichte der Mathematik IV. 16