Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Die Entstellung des Genueser Zahlen-Lotto ist bereits oben ^Bd. IIP,S. 336) besprochen und seine Einrichtung mitgeteilt; wir erwähnendabei, daß La place (Mein, de Paris VI, 1774, p. 365) dieses Spielals „Lotterie der Militär-Schule“ bezeichnet, ohne einen Grund für dieseBenennung anzugebeu: Aus 90 mit den fortlaufenden Zahlen 1 bis90 bezifferten Marken werden 5 Gewinnmarken herausgegriffen. Andiese Einrichtung der Genueser Zahlen-Lotterie knüpfen sich mehrereinteressante Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das Erscheinenvon 2 aufeinander folgenden Zahlen unter den Gewinnmarken heißt eineSequenz oder eine Folge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daßbei einer Ziehung eine Sequenz auftritt? Euler hat dieses Problemin dem Aufsatze: „Sur la probabilite des sequences dans la loteriegenoise“, Histoire de l’Acad. ... ä Berlin 1765 (1767), p. 191 — 230aufgeworfen und erledigt. An gleichem Orte p. 271—280 und im An-schlüsse an diesen Aufsatz behandelt Beguelin die gleiche Frage inder Arbeit: „Sur les suites et les sequences dans la loterie de Genes“.Der Unterschied zwischen beiden ist nur der, daß Beguelin auchdie Nummern 90, 1 als Sequenz auffaßt, also eine kreisartig ge-schlossene Folge der Nummern annimmt. Johann III. Bernoulli nimmt in einer schon früher verfaßten, aber erst später veröffentlichtenArbeit: „Sur les suites ou sequences dans la loterie de Genes“(ibid. 1769 [1771J, p. 234—253) den gleichen Standpunkt ein wieBeguelin. Wbrden allgemein n Nummern angenommen, von denen rgezogen werden, so ist die Wahrscheinlichkeit bei der Eulerschen

Annahme ^ 1 ) : ^ für das Nichtauftreten einer Sequenz und

■p ( n r — x X ) ’ (”) ^ei ^ er ® erno ulli-Beguelinschen. Beguelin

gibt eine mechanische Aufstellung der möglichen Ziehungen ohneSequenz, die an die Hin den bürg sehen kombinatorischen Regeln er-innert und „involutoriseh“ genannt werden kann. Wir wollen aneinem Beispiele zeigen, in welcher Weise Beguelin vorgeht. Fürn = 6 und r = 2 seien die sequenzlosen Ziehungen gegeben. Es sind13, 14, 15, 16, 24, 25, 26, 35, 36, 46.

Um die für n = 7 und r = 3 zu erhalten, behalten wir aus den so-eben aufgestellten alle bei, die nicht mit 1 beginnen, also die sechsletzten, erhöhen jede eingehende Nummer um 1, so daß 35, 36, 37,46, 47, 57 entsteht, und schreiben eine 1 vor jeden dieser Komplexe.Das gibt alle die sequenzlosen Kombinationen für n = 7, r = 3, diemit einer 1 beginnen:

135, 136, 137, 146, 147, 157.

Unter jede dieser, allgemein mit a, b, c bezeichneten Kombinationen

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