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Abschnitt XXI.

wird nun a+1, 6+1, c+1 geschrieben; unter die so entstehendenin eine dritte Zeile a + 2, 6 + 2, c + 2, usf. bis in der letzten, drittenNummer des Tripels die höchste Zahl 7 erreicht wird. Die vollstän-dige Tabelle lautet dann

135, 136, 137, 146, 147, 157,246, 247, 257,

357.

Das sind unter der Eulerscheu Annahme die 10 sequenzlosen Kom-binationen; die 7 Bernoullischen erhält man durch Tilgung derdritten, fünften und sechsten dieser 6 Spalten. Wie es sein muß, istden obigen Formeln entsprechend

7 n

und

Laplace hat im „Memoire sur les suites recurrentes et leursusages daus la theorie des hasards“ 1 ) Probleme behandelt, dieEuler in Zusammenhang mit der Genueser Zahlenlotterie bringt undin folgender Fassung vorträgt (Opusc. analyt. II, 1785, p. 331—346):Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß nach Beendigung einer ge-gebenen Anzahl von Ziehungen alle 90 Nummern als Gewinnummernzum Vorschein gekommen sind, oder gerade 89 von ihnen, oder 88,oder weniger? Wie groß ist die Anzahl der Ziehungen, nach denendie Wahrscheinlichkeit, daß alle 90 erschienen sind, ebenso groß istwie die, daß sie nicht erschienen sind? Bei der ersten angegebenenProblemreihe fügt Euler noch als erschwerenden Zusatz das Wörtchen„wenigstens“ ein: wenigstens 89, wenigstens 88. Ist n die Anzahlder Nummern, r die Anzahl der jedesmal gezogenen, k die Anzahlder Ziehungen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in kZiehungen jede der n Nummern erscheint

IC)‘-”(’‘:T+(9(“77-"-KT

Aus der Bedeutung dieses Ausdruckes schließt man den arithmetischenSatz, daß der Dividend den Wert Null besitzt, sobald n > r • k ist.

Hierher gehört auch die folgende Aufgabe: Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafür, mit einem Würfel von n Flächen in qWürfen einmal der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3,. .. n zu werfen?J. Trembley behandelt diese Frage 8 ) und gibt die Lösung induktivohne Beweis: Ist w die gesuchte Wahrscheinlichkeit, so findet er

*) Mein. pres. p. div. Savans ä l'Acad. de Paris VI, 1775, p. 353. *) Arch.

f. reine u. angew. Math, herausgeg. v. Hindenburg, 1799, Heft 10, S. 123bis 137.