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Abschnitt XXI.

Jakob Bernoulli hatte gezeigt, daß, wenn bei einem Versuche eins

der beiden sich ausschließenden Ereignisse A, B eintreffen muß; wenn

ferner die Wahrscheinlichkeit des ersten dabei gleich p und die des

zweiten gleich q=\—p ist; wenn endlich bei (/» + «) Versuchen

A gerade »mal und B gerade «mal eingetroffen ist: daß dann der

Quotient m sich bei wachsendem (m + n) dem Quotienten — ohnen ' q

Aufhören nähert. De Moivre hatte noch einen Schritt weiter getan,indem er die Differenz der beiden Quotienten zwischen bestimmteGrenzen einschloß, die einander um so näher rücken, je größer die An-zahl der Beobachtungen ist. Bisher war also die Wahrscheinlich-keit des Ereignisses das Gegebene gewesen, aus dem Schlüsse überdas Eintreffen des Ereignisses sich ziehen ließen. Jetzt wird die um-gekehrte Frage aufgeworfen: kann man aus dem Eintreffen eines Er-eignisses seine Wahrscheinlichkeit bestimmen? Implizite ist dieseFrage bereits bei der Aufstellung von Geburtstabellen von DanielBernoulli (siehe oben) gestreift worden; mit vollster Klarheit wurdesie von dem Engländer Bayes aufgeworfen und behandelt. Laplace schreibt darüber 1 ): „Bayes ’ hat direkt die Wahrscheinlichkeit dafürbestimmt, daß die durch bereits vollzogene Versuche gegebenen Mög-lichkeiten zwischen gegebenen Grenzen liegen. Er gelangt dazu aufelegante und sehr geistreiche Art, die freilich ein wenig verwickeltist." Über Thomas Bayes ’ Lebensumstände haben wir nichts inErfahrung bringen können, außer daß er Mitglied der Royal Society zu London war und vor Ende November 1763 starb. Seine Ab-handlung: „An essay towards solving a problem in the doctrine ofchances“ wurde nach seinem Tode unter Unterlassenen Papieren ge-funden und durch Vermittlung seines Freundes Richard Price(1723—1791), der sich durch Aufstellung von Lebensversicherungs-berechnungen als Fachmann bekannt gemacht hatte, in den P. T.LIII, 1763, p. 370 s ) veröffentlicht; Price selbst schrieb eine Ein-leitung, Erläuterungen und Beweise zu dieser Abhandlung.

Bayes beginnt mit der Fixierung des Problems: „Es ist bekannt,wie oft bei einer Anzahl von Versuchen ein Ereignis eingetroffenund wie oft es ausgeblieben ist; gesucht wird die Wahrscheinlichkeitdafür, daß die Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens in einem einzelnenVersuche zwischen zwei gegebenen Grenzen liege“.

Die Behandlung des Problems geschieht auf geometrischem Wege.Auf eine rechtwinklige Tafel AB CI) von der Länge AB = a wirdeine Kugel geworfen, die in G zur Ruhe kommt; ihre Entfernung

') Theorie analytique des probabilites, 3 me edit. Paris 1820, p. CXXXVI.*) Xebst Supplement P. T. LTV (1764), p. 296.