W ahrecheinlichkeitsrechnung.

241

von AB sei x = AF = BH . Alle Werte von x = 0 bis x = a seienfür die Ruhelage der Kugel gleich wahrscheinlich. Nun wird einezweite Kugel auf die Tafel geworfen; ihre Ruhelage habe von ABdie Entfernung £. Der Wurf der zweiten Kugel finde (»i + n) malstatt. Es soll, bevor die erste Kugel ge-worfen ist, die Wahrscheinlichkeit dafürbestimmt werden, daß x zwischen zweigegebene Grenzen b = AK und c = ANfällt, und daß sich dann m mal £ < x undn mal £ > x bei den Würfen mit derzweiten Kugel herausstellt. Bayes zeichnetüber AB eine Kurve mit der Ordinatey = x p (a — x) 9 und zeigt, daß die gesuchteWahrscheinlichkeit, abgesehen von einem konstanten Faktor,

Fig. 2.

= K.J MN K

wird. Nimmt man b = ü, c = a, so wird die Wahrscheinlichkeit

= AJEMDNKA.

Da diese Wahrscheinlichkeit = 1, d. h. Gewißheit wird, so bestimmtsich dadurch der konstante Faktor. Daraus folgert Bayes: Wissen wir,daß bei den (m + n) Würfen der zweiten Kugel »mal £ < x und»mal £ > x gewesen ist, dann wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daßb < x < c ist gleich dem Quotienten der Flächen KJMNK undAJEMBA, oder in unserer Schreibweise

C

fxf(a — x) 9 dx

* '

6

a

I A(a — x) 9 dx

ö

Man kann Laplace nur beistimmen, wenn er diese Schlüsse einwenig verwickelt nennt.

Laplace stellt seinerseits das Prinzip, auf das sich die Unter-suchung der Wahrscheinlichkeit von Ursachen aufbaut, an den Beginnseiner Abhandlung 1 ). Er gibt ihm die Form: Ist ein Ereignis A dieFolge einer der n Ursachen B lt B.,, ..., B nf derart daß jedes B i demEintreffen von A die Wahrscheinlichkeit n\ erteilt, dann ist dieWahrscheinlichkeit dafür, daß B u das Eintreffen von A hervorgerufenhat, tv a :2Jw i . Laplace erklärt dies Prinzip an einem Beispiele: Es

') Memoires . . . Acad. des Sciences ä Paris VI P- 621.