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Abschnitt XXI.

und die Kenntnis der Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der späterenkorrigiert und erweitert werde. Im Artikel XIV dieser Abhandlungheißt es bei der Besprechung des Ausfalles fortgesetzter Spiele zweierPersonen, daß man durch die Folge der Ereignisse neue Aufschlüsseüber ihre Geschicklichkeiten erhalten könne, derart daß sie bei un-endlich vielen Spielen genau bekannt werden. „Unter diesem Gesichts-punkte läßt sich nicht bezweifeln, daß frühere Ereignisse auf dieWahrscheinlichkeit späterer Einfluß haben.“

Das gibt Laplace Veranlassung, diesen Einfluß zu untersuchenund so zu der Bayes sehen Regel zu gelangen. Die dazu nötigenSchlüsse hat Laplace wiederholt vorgetragen. Wir gehen sofortdarauf ein; nur erwähnen wir erst noch, daß in Artikel XVI derbesprochenen Abhandlung dieser Einfluß an dem Beispiele zweier Spielererläutert wird: B hat die erste Partie gewannen, wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, daß A die beiden folgenden gewinnt? Es stelltsich heraus, daß unter Berücksichtigung der Verschiedenheiten der

Geschicklichkeiten diese Wahrscheinlichkeit kleiner als ist.

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Laplace kommt in seinem „Memoire sur les approximations desformules qui sont fonctions de tres-grands nombres“, Art. IV (Hist,de l’Acad. . . . ä Paris 1783 [1780], p. 423), auf die Begründung derBayes sehen Regel zurück und leitet sie mit größter Einfachheit ab.Er geht dabei folgenden Weg: Bezeichnen e und E zwei Ereignissep und 1K ihre Wahrscheinlichkeiten, und hat das gleichzeitige Ein-treffen von e und von E die Wahrscheinlichkeit v, so ist v=p- V-

p = y ■ „Die gesamte Theorie der Ursachen und der zukünftigen Er-eignisse, erschlossen aus den bereits eingetretenen, fließt mit großerLeichtigkeit aus dieser Formel“ (p. 428). Nämlich so:

Es möge E Folge eines der Ereignisse e t , e 2 , e 3 , . . ., e n sein; e kgebe dem Erscheinen von E die Wahrscheinlichkeit a x . A priorimögen alle e x gleiche Wahrscheinlichkeiten, d. h. jedes die Wahr-scheinlichkeit 1 haben; dann hat das Zusammentreffen von e, und E

die Wahrscheinlichkeit 1 a k und daraus folgt für die Wahrscheinlich-keit von E

V = ~ H ( a i + a 2 + a s + --1" a n )-

Bezeichnet p } die Wahrscheinlichkeit, daß e t die Ursache von E war,und bedenkt man, daß — a, die Wahrscheinlichkeit des Zusammen-

treffens von e l und E, also gleich v x ist, so wird nach der obigenElementarformel