Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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1

(«i + a t + ■ ■ ■ + a „)

n

rt i + n i + ' ' ' + a "

n

Das ist die Bayessche Kegel.

Auch hier gibt Laplace ein sehr treffendes Beispiel: Eine Urneenthält drei Kugeln, schwarze oder weiße. Es wird blindlings eineKugel gezogen; diese wird wieder in die Urne getan und dann eineneue Ziehung vorgenommen. In m aufeinander folgenden Ziehungen sindnur weiße Kugeln zum Vorschein gekommen. Wie groß sind dieWahrscheinlichkeiten dafür, daß die Urne nur weiße, oder 2 weißeund 1 schwarze, oder 1 weiße und 2 schwarze Kugeln enthält?Nimmt man für e lf e 2 , e 3 diese 3 Möglichkeiten, so wird = 1,

1 _|_ 2 m + 3”‘ ’ 1 + 2”* + 3 m ’ 1 + 2 m + 3 m

Laplace bemerkt weiter, daß die genaue Wahrscheinlichkeit dermeisten einfachen Ereignisse uns unbekannt, also für uns jedes Werteszwischen 0 und 1 fähig sei. Sie heiße x; die Wahrscheinlichkeitvon E unter der Geltung von x sei f(x)dx\ dann geht die obige Formelfür p k nach Erweiterung mit dx über in

f{x)d,x

p z = -j--

I f(x)dx

ö

und die Wahrscheinlichkeit, daß x zwischen den beiden Grenzen 0und 6 l liegt, ist gleich dem Quotienten

8 1

jf{x)dx : jf(x)dx.

e, o

0 und 6^ werden nahe dem Werte a, diesen einschließend, ge-wählt, wo x — a die Funktion f(x) zu einem Maximum macht; unddann läßt sich zeigen, wie die Wiederholung einfacher Ereignissedurch ihren Ausfall Schlüsse auf ihre Wahrscheinlichkeit ermöglicht.

Laplace wendet dann die erhaltenen Theoreme auf das Problemder Knaben und Mädchen-Gehurten an (vgl. S. 239) und benutzt fürdie wirkliche Berechnung der unbekannten W ahrscheinlichkeiten diein dem früheren Teile des Memoire (Hist. ... Paris 1782, p. 1—88)hergeleiteten Näherungsformeln für die Integrale der angegebenenFormen.