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Abschnitt XXI.

Dann geht er auf weitere theoretische Untersuchungen darüberein, wie aus dem Vorkommen früherer Ereignisse auf das Eintretenspäterer Schlüsse möglich sind. Ist q (x) die Wahrscheinlichkeit deszukünftigen Ereignisses, a priori betrachtet, und P die, aus den be-obachteten früheren Resultaten erschlossene Wahrscheinlichkeit, soergibt sich

1 1

P — ff (x)cp (x) dx : ff(x) dx.ö ö

Auch diese Formel wird auf das typische Beispiel vom Ziehen einerKugel aus einer Urne angewendet: ist einmal eine weiße Kugel ge-zogen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das weitere Erscheinenvon n schwarzen Kugeln

i i

P = fx(l — x)”dx : fxdx = - —j—^—— •

,/ v ' J '»+!)(« +2)

o o

Von der Methode der Bestimmung zukünftiger Ereignisse durchden Ausfall früherer macht Laplace auch in dem Aufsatze „Sur lesnaissances, les mariages et les morts ä Paris“ (Hist, de l’Acad. 1773[1776], p. 693 — 702) Gebrauch, um die Ergebnisse von Volkszählungen,die in einzelnen Distrikten Frankreichs vorgenommen wurden, ver-allgemeinernd zu verwerten. Aus ihnen sollte die Bevölkerung desganzen Reiches bestimmt werden. Das konnte mit Hilfe von Geburts-tabellen für das gesamte Gebiet geschehen, wenn das aus jenenDistrikten erhaltene Verhältnis zwischen Geburten und Lebenden fürdas ganze Reich Gültigkeit beanspruchen darf. Laplace erörtert,mit welcher Wahrscheinlichkeit man eine solche Annahme machendürfe. Er reduziert sie auf das Urnenschema: In einer Urne befindensich unendlich viele schwarze und weiße Kugeln in unbekanntem Ver-hältnisse. In einer ersten Ziehungsserie werden p weiße und qschwarze Kugeln gezogen; in einer zweiten q x schwarze, wieviel weißeist unbekannt. Dabei ist es am naturgemäßesten, anzunehmen, daßdie Zahl p x der weißen das Verhältnis befriedigt P-Q=p 1 :q 1 , also

p x = - ( - wird. Es wird nun die Wahrscheinlichkeit P dafür bestimmt,daß für den wahren Wert p x die Eingrenzung

P f(l-co) < p 1< ^(l +a )bei kleinem tu gilt. Bis auf Größen' der Ordnung w 4 wird

P=l- 2 - fdte-‘ a (ct _ V

VnJ dte \“~2 (p + pMq + qj)