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Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Auch in dem Aufsatze der Histoire de l’Acad. . . . Paris 1778, p. 227geht La place auf das Problem des Geburtsverhältnisses von Knabenund Mädchen ausführlich ein.
Eine weitere Frage zieht, sowohl wegen der Untersuchungen, zudenen sie in unserem Zeiträume selbst Anlaß gab, als auch wegenihrer praktischen Wichtigkeit unsere Aufmerksamkeit auf sich. Zu-dem gab sie den ersten Anstoß zur Theorie der Beobachtungs -fehler. Ist eine Größe mehrfach beobachtet, dann werden die Re-sultate der einzelnen Beobachtungen i. a. nicht miteinander überein-stimmen, so z. B. wenn die Länge einer Strecke oder die Größe einesWinkels gemessen worden ist. Als das wahrscheinlichste Resultathat man dann, wenn die Beobachtungen als gleichwertig eingeschätztwerden, das arithmetische Mittel der Einzelbeobachtungen angesehen.Es ist die Frage, mit welchem Rechte das geschieht. Davon war(diese Vorlesungen IIP, S. 640—641) im Anschluß an eine Abhand-lung von Th. Simpson schon die Rede; Lagrange nimmt (Mis-cellaneaTaurinensia V, 1770—1773, p. 167—232) 1 ), wahrscheinlich ohneKenntnis jener früheren Untersuchung zu haben, das Problem wiederauf und führt die Behandlung ähnlich wie Simpson durch. Er setzt denwahren Wert der zu beobachtenden Größe und die begangenen Be-obachtungsfehler als gegeben voraus, kann daraus das Mittel der Be-obachtungen berechnen und darauf hin bestimmen, mit welcher Wahr-scheinlichkeit das Mittel den genauen Wert gibt, und mit welcherWahrscheinlichkeit bei seiner Annahme ein Fehler von gegebenerGröße begangen wird. Liegen z. B. Fehler nur von den Größen+ 1, 0, — 1 vor, gilt gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintretenvon jeder der drei Sorten, und hat man n Beobachtungen gemacht,dann ist für die Annahme
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . ..
die Wahrscheinlichkeit = ,
* 29 '
24372‘J ’
139729 ’
171729 ’
153 141
729 ’ 729 ’
dafür, daß das Mittel den wahren Wert gibt. Es scheint auf Grunddieser Zahlen unvorteilhaft, die Anzahl der Beobachtungen über 2steigen zu lassen; allein, wenn man nach der Wahrscheinlichkeit fragt,daß der bei der Annahme des Mittels gemachte Fehler den Betrag2 nicht übersteigt, dann findet sich für die Annahme
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
die Wahrscheinlichkeit =
567729 ’
513729 ’
639729 ’
603 673
729 ’ 729 ’
Es ist also in Wirklichkeit vorteilhaft, n als große und als gerade