248

Abschnitt XXI

Zahl anzunehmen. In den ersten acht der zehn Probleme, mit denenseine Abhandlung sich beschäftigt, behandelt Lagrange den Fall,daß eine endliche Anzahl diskreter Fehler begangen sei; von da ausmacht er den Übergang zu der, in der Natur begründeten Annahme,daß unendlich viele Fehlermöglichkeiten innerhalb gewisser Grenzenvorliegen. Am Schlüsse der Abhandlung geht Lagrange direkt aufdiesen natürlichen Fall ein. Dabei führt er den Begriff der Fehler-wahrscheinlichkeit ein, und stützt diesen auf die gemachten Be-obachtungen; ist x die Größe des Fehlers, so ist die Fehlerwahr-scheinlichkeit y hierfür gleich der Anzahl der Male, in denen x auf-getreten ist, dividiert durch die Gesamtzahl der Beobachtungen. Inden gegebenen Beispielen wird einmal y als Konstante, einmal alsy — cst. (p 2 — x r ) angenommen, so daß hier die beiden Grenzen derFehler — p und -j- p sind. Die zweite Hypothese für y erklärt La-grange für die einfachste und naturgemäßeste, die man erdenkenkönne. Ein letztes Beispiel nimmt y — cst. cos x an. Auf eine theo-retische Annahme, die zu der jetzt üblichen Fehlerwahrscheiulichkeits-funktion führen könnte, geht Lagrange nicht ein.

Von ganz anderen Gesichtspunkten läßt sich Daniel Bernoulli in seiner „Dijudicatio maxime probabilis plurium observationum dis-crepantium atque verisimillima inductio inde formanda“ (Act. Acad.Petrop. 1777 [1778], p. 3—23) leiten. Kommen, so überlegt er,große Abweichungen unter den Beobachtungen vor, so werden miteinem gewissen Rechte die extremen Resultate weggelassen; das arith-metische Mittel verliert in solchem Falle seine Gültigkeit als wahr-scheinlichster Wert. Vor allem ist ein Gesetz für die Wahrschein-lichkeit der Fehler, als eine Funktion ihrer Größe, aufzusuchen. Fallsx die Größe des Fehlers und y die Wahrscheinlichkeit seines Ein-treffens ist, findet Bernoulli folgende Annahmen über y nötig:a) y muß für + x und — x gleichen Wert haben; b] mit wachsendemx muß y abnehmen; c) im höchsten Punkte der Fehlerkurve y = f(x)muß die Tangente parallel der x- Achse laufen; d) y = f(x) muß aufder x-Achse enden; e) die Tangenten in diesen Endpunkten müssensenkrecht auf der x-Achse stehen. Über d) und e) kann man ge-teilter Ansicht sein; jedenfalls haben diese Hypothesen sich im Ver-laufe der weiteren Entwicklung nicht durchgesetzt. Als Fehler-funktion y = fix) wählt der Verfasser einen Halbkreis y — c. ]/V 2 — x 2 ,dessen Radius bei jeder Untersuchung experimentell dadurch zu be-stimmen ist, daß — r und + r als Grenzen für mögliche negative undpositive Fehler genommen werden. Es kommt ferner noch auf dieLage des Halbkreises, d. h. auf die seines Mittelpunktes an, der sofestgelegt wird: A, A a, A + b, . . ., die nach steigender Größe