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Wahrscheinlichkeitsrechnung.

geordneten Beobachtungen sind gegeben; x ist die Entfernung desMittelpunktes von .4; dann ist die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Vorkommens der Fehler x, x — a, x — b, . . . proportional zudem Produkte V» -2 — x~ • )/r s — (r — «) 2 • yV 2 — (x — b) s . . . = Yq.Nun wird folgender Schluß gewagt: Da diese Fehler ja wirklich ein-getroffen sind, so ist ihre Wahrscheinlichkeit, wie Bernoulli be-hauptet, ein Maximum; man tindet also x dadurch, daß man Q zueinem Maximum macht. Das führt bei n Beobachtungen auf eineGleichung des Grades (2 h — 1). Bei h = 1 und 2 liefert diesedas arithmetische Mittel; bei n = 3 schon nicht mehr.

ln seinen Bemerkungen zur eben besprochenen Abhandlung greiftEuler (ibid. p. 24 — 33) die eben hervorgehobene gewagte BehauptungD. Bernoullis an. Er selbst umgeht durch eine geistreiche Wendungdie Auflösung der Gleichung des Grades (2 h — 1) und zeigt, wie dieeiner Gleichung dritten Grades in allen Fällen ausreicht.

Auch Laplace nimmt iu der oben erwähnten Untersuchung(Memoires de l’Acad. des Sciences. Paris VI [1774], p. 621) Stellung zu derFrage nach dem arithmetischen Mittel aus einer Reihe von Beobach-tungen. Er erklärt (p. 039), die Annahme, die auf das arithmetischeMittel führt, sei „wenig natürlich“ und hält es für notwendig, beifeineren Untersuchungen von einer anderen Methode Gebrauch zumachen. Laplace setzt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vonder Größe x gleich /'(#); dabei fordert er, daß /'(+ x) =/"(— x) sei;ferner daß die a;-Achse eine Asymptote der Kurve y = f(x) werde,und daß die von der aoAchse und der Kurve y = f(x) begrenzte Flächedie Größe 1 besitze. Mit Hilfe einer ganz willkürlichen Annahme

wird f(x) = * me~’" x gefunden. Merkwürdigerweise übersieht La-place dabei, daß die erste seiner, für f(x) aufgestellten drei Forde-rungen durch y = ^ tne~ mx nicht befriedigt wird. Zur weiteren Be-handlung der Frage verwendet er das von ihm aufgestellte Prinzip überdie Wahrscheinlichkeit der Ursachen und kommt auf einem, schonfür drei Beobachtungen recht komplizierten Wege zum Ziele. DieBestimmung des Mittels ist selbst in diesem so einfachen Falle von derLösung einer Gleichung 15 teu Grades abhängig. Einer kleinen vonLaplace berechneten Tafel entnehmen wir folgende Resultate: Sinddie drei beobachteten Punkte A, B, C; wird stets AB = l gesetztund dann BO => 7 ; hat endlich das Laplacesche Mittel M die Ent-fernung AM=x von A, so ergibt sich für

q= 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1,0:r = 0,860; ~ 0,894; 0,916^(49327 <(917; 0,95f>7~0/J65; 0[9757 Ö,984; 0,992; 1~

Caxtor, Geschichte der Mathematik IV. 17