Abschnitt XXI.

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Auf mehr als drei Beobachtungen geht die Abhandlung bei derSchwierigkeit der Rechnungen nicht ein.

Auch in seinem „Memoire sur les probabilites“ vom Jahre 1785(Histoire de l’Acad. . . . Paris , 1778) behandelt Laplace diese Fragen.Er löst dabei zuerst das folgende Problem: „Es seien n positive,stetige Variable t i , t. 2 , . . ., t n mit der festen Summe s gegeben. DasGesetz, der Wahrscheinlichkeit für das Eintretfen jedes einzelnen t asei bekannt. Es soll die Summe der Produkte aller Werte einer ge-gebenen Funktion L, . . ., t n ) in die Wahrscheinlichkeit des Auf-tretens des betretfenden Wertes ermittelt werden.“ Damit hängt aufsengste das, wie wir S.248 sahen, schon von Lagrangebehandelte Problemzusammen: „Die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, daß die Summeder Fehler bei mehreren Beobachtungen zwischen gegebenen Grenzenliegt, wenn das Fehlergesetz durch eine rationale ganze Funktion ge-geben ist.“ Auf die Entdeckung dieses Fehlergesetzes geht nun La-place (1. c. S. 254; art. XII) aus. Er nimmt an, daß keine Fehlervon höherem absoluten Betrage als a Vorkommen; ferner daß gleichgroße positive und negative Fehler mit gleich großer Wahrscheinlich-keit auftreten; endlich daß die Wahrscheinlichkeit bei stetig wachsen-der Fehlergröße stetig abnimmt. Hierauf teilt er die Strecke, auf derdie n Fehler als Abszissen repräsentiert werden, von 0 bis a in ngleiche Teile und errichtet in der Mitte eines jeden Teils ein Lot, dasdie entsprechende, zur Abszisse gehörende Wahrscheinlichkeit dar-stellt. Da die Fehlerkurve mit der Achse eine Fläche von konstantemInhalte 1 bildet, so muß auch die Summe der errichteten Ordinatenkonstant sein: diese Summe denkt sich jetzt Laplace auf alle mög-lichen Weisen in n ihrer Größe nach geordnete Längenteile zerlegt;dann entspricht jeder solchen Zerlegung eine Fehlerkurve oder ge-nauer ein Fehlerpolygon. Von allen möglichen, so konstruierbarenwird ein „mittleres“ Polygon genommen; und diese Annahme wirddurch die Gleichberechtigung aller konstruierten Fehlerkurven be-gründet. Läßt man dann n ins Unendliche wachsen, so gelangt manzu der Kurve, die das Fehlergesetz mit der größten Wahrscheinlich-keit darstellt. Laplace findet für diese Kurve die Gleichung

1 i a

y- 2ä lo 87-

Dabei ist jedoch anzunehmen, daß für negative x in den Nenner desLogarithmus-Arguments die entgegengesetzt gleiche positive Größeeingetragen wird. Über die bei der Abszisse x = 0 auftauchendeSchwierigkeit geht Laplace hinweg; ebensowenig stört ihn der Um-stand, daß für x > a reelle negative y auftreten.

Die erhaltene Lösung benutzt Laplace am Schlüsse seiner um-