2f>8
Abschnitt XXI.
unter der Theorie der Reihen oder an einer anderen Stelle besprochenwird, wohin sie dem Stoffe nach oder aus anderen Gründen gehört.
Ein Beispiel für das soeben Gesagte möge genügen: Lagrangehat 17(58*) eine „neue Methode“ gegeben, um die literalen Gleichungenmit Hilfe von Reihen aufzulösen. Dabei gelangt er, ohue einen Be-weis für sein Resultat zu geben, zu der wichtigen Formel, die als „La-grangesche Umkehrungsformel“ seinen Namen trägt. Er bringtdie Gleichung mit der Unbekannten x auf die Form a — x-\-<p(x)=0.Ist dann p eine Wurzel dieser Gleichung, i}>(p) eine Funktion vonp und die Ableitung von i>(x), dann wird nach seiner Formel
G(>') = ü(x) -f i>'(x)<iv(x) +
d 1 [tt,’(x)<p(xy J d s [if>'(x)<jp(a:) 4 ]f 3 \dx r V.dx*
falls nach dem Differenzieren x überall durch a ersetzt wird. DieseFormel gehört ihrem Wesen nach zur Infinitesimalrechnung, ihrerAnwendung und Entstehung nach zur Algebra, ihrer Form nach zurReihentheorie und ihrer Herleitung nach (wie wir früher S. 216sahen) auch wohl zur Kombinatorik. —- Dies mag gleichzeitig zurErklärung dafür dienen, daß wir die, auf den binomischen Satz be-züglichen Untersuchungen vereint an den Beginn der Besprechungüber die Kombinatorik gesetzt haben; daß dort auf die Potenzierungdes Polynoms und auf die formelle Umkehrung der Reihen eingegangenwurde.
Was die Grundlegung der Theorie der unendlichen Reihen be-trifft, so können wir uns, ebenso wie im 1U9. Kapitel des drittenBandes der Überzeugung nicht verschließen, daß bei außerordentlichangewachsenem Reihenmaterial die Begründung der Reihentheorieund zwar besonders die Begriffe von Konvergenz und Divergenz inHinsicht auf Strenge noch fast alles zu wünschen lassen. SelbstGeistern wie Euler und Daniel Bernoulli war es nicht vergönnt,sich zu korrekten Anschauungen durchzuarbeiten; sie gerieten auf dieseltsamsten Abwege.
Hinsichtlich des Stoffes mag gleich hier erwähnt werden, daß inunserer Epoche die Reihen, die nach dem Sinus oder dem Kosinusder Vielfachen eines Winkels fortschreiten, besonders die Aufmerk-samkeit der Mathematiker auf sich ziehen und ein bevorzugtes Objektder Untersuchungen werden: wir stehen eben in der vorbereitendenEpoche für die Entdeckungen Fouriers.
Es möge nun die Besprechung der einzelnen, wichtigeren Arbeiten