Reihen.
25!*
folgen. — Wir beginnen mit einer Arbeit von John Landen 1 ), der1760 eine Methode angibt, gewisse Reihen zu summieren. Sie be-ruht auf der gliedweisen Integration einer Reihe, deren Summe be-kannt ist, nebst zugehöriger Bestimmung der Integrationskonstauten.Landen knüpft dabei an die bekannte Entwicklung von
log (1 + x)
an. Er findet Beziehungen zwischen Reihen von der Form
. X 2 , X 3
x H-+ -
2* 3*
bei verschiedenen y.. Bezeichnet wird
PO = 1 + — + — + — H-; ö< x) = 1 + — + —
2* 3* 4* ’ V 3* 6*
+ J- -+■■■:
'i 3 X 5 X 7 X ’
7 *
+ •
dann beweist Landen, was Euler schon auf anderem Wege in der„Introductio in analysin“ hergeleitet hatte, daß P n > = , Ql 11 ) = ,
7T S
q ,ui) = — ist. Weiter liefert er Formeln wie
_ P( IV) = 2 I 2 • 8
3 ' 3 - 4-5 ’
— PlVI) = 2 1 2 P(1V) , 8 _ p(II) I 3 • 32 ... 7,6 I . .
3 ^ 3 - 4-5 ^ 3 - 4 - 5 - 6 - 7 ^ ’
worin b 2 = — ist. Auch Reihen von der Gestalt
4
l s ■ 3* 3* • 5
2 ' 5 2 ■7 2 ' 16
l 2 ■ 3 2
+ TP
+
7 2 ■ 9 !
+ • " =
1
2 ’3 TT 3256
werden bestimmt.
Eine große Anzahl von Abhandlungen mehr oder weniger be-deutenden Inhalts über Reihen liefert Euler in seiner Unermüdlich-keit und seinem nie versiegenden Ideenreichtum.
Durch einen gewissen geometrisch-asymptotischen Prozeß hatteDescartes die Quadratur des Kreises konstruktiv geliefert. Euler überträgt ihn ins Gebiet der Analysis 2 ) und gelangt dabei zur Sum-mation der Reihe
taug <p + - 2 tang * (p + ^ tang * (p + ■ • • = * — 2 cotg2<p,