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Abschnitt XXI.
die er dann auch, wie ähnliche Formeln, rein rechnerisch undelementar herleitet.
ln einem anderen kleineren Aufsatze entwickelt Euler 1 ! Be-ziehungen wie
Ä taug * + A tangy + A tang ^ + • • • + A tang„* (S H-
= A tang * + A taug * + A tang * 3 + -
+ ^tang H - f - + ; t + 1 +••■=“•
In diesen Formeln bedeutet, wie auch anderswo zu dieser Zeit,A tang qp so viel wie unser arctang qp.
Im Jahre 1765 beschäftigte sich Euler 2 ) mit der Entwicklungder Potenz (1 + a: + x ! )" und insbesondere mit dem darin auftretendenKoeffizienten der Potenz x”. Bezeichnen wir ihn durch a n , so ist
= 1 +
n — 1\1
) + (3 (" 2 3 + (3 C 3 3 ) + •' •> die Klammern
die Binomialkoeffizienten in moderner Schreibweise angeben. Esgilt die Rekursionsformel (11 + l)a n+2 = (2n + 1)«„ + 1 +
_ i_
Daraus folgt « 0 -f- a x x -f- a s x 2 -f « 3 ;r 3 -f- ■ ■ • = (1 — 2x + 3x 2 ) \ End-lich wird die allgemeinere Potenz (a -f- bx + cx 2 ) n in ähnlicher Weisebehandelt und auch bei ihr der Koeffizient von x" untersucht.
Im Jahre 1767 veröffentlichte der Italiener Francesco Luinooder Luini zwei Werke: „Delle progressioni e Serie 1, und „Sullainterpolazione delle Serie e suo uso all’ astronomia“ 3 ), die mehr ihremTitel als ihrem Inhalte nach hierher gehören. Das erste beschäftigtsich eingehend mit der elementaren Arithmetik und Algebra, führtdie Behandlung der positiven und negativen, der reellen und der ima-ginären Größen durch, löst die Gleichungen der niederen Grade, be-spricht die endlichen arithmetischen und geometrischen Reihen und gehtdann zu den unendlichen Reihen über. Dabei verwertet Luino einevon Vincenzo Riccati stammende Idee 4 ). Die Summe der m erstenGlieder einer unendlichen Reihe sei S, die Summe ihrer (m — 1)ersten Glieder s, und das allgemeine m te Glied heiße T. Dann istT—S — s. Hat man andererseits T = A — a, wo A dieselbe Funktionvon m, wie a von (m — 1) ist, so braucht A noch nicht gleich S zusein, man kann aber leicht S finden. Bedeuten nämlich T' und A'