Keihen.

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die Werte, die T und A für m = 1 annehmen, und setzt man T’ — A' = b,dann ist S = .1 + b. Riccati und Luino nehmen nun S als ge-gebene Funktion und bilden daraus das allgemeine Glied T = S — s.Dies gehört dann als allgemeines Glied zu einer Reihe mit bekannterSumme. Als die praktisch wichtigsten Reihen werden die arith-metischen mit T = n + bm + c»; 3 + • ■ • + d>n x , die geometrischenmit T = e m und die gemischten mit T = (o + bm + ■ • • + dm*)e mbehandelt. Die Methode trägt aber weiter, wie an dem Beispiele

c Lm + Mm* Km 11

= (A 4- Bm)(A + Bim — 1» ... (.1 + B{m —p + ri)

gezeigt wird.

Nahm Luino die Riccatische frühere Arbeit als besonderswichtig in seine Darstellung auf, so veröffentlichte Riccati selber imgleichen Jahre neue Untersuchungen über rekurrente Reihen 1 ). Schon1756 hatte er das allgemeine Glied einer rekurrenten Reihe aus derzwischen ihren Gliedern geltenden Rekursionsformel bestimmt. Hier er-ledigter das gleiche Problem für allgemeinere Reihen, für „rekurrente mitAppendix“. Bei solchen unterscheidet sich die Rekursionsformel da-durch von der für gewöhnliche rekurrierende Reihen, daß eine addi-tive Konstante als Appendix hinzutritt. So gehört die Reihe 0, 1, 1,2, 4, 0, 21, 50, 120, ... zu den rekurrenten Reihen mit Appendix, dafür sie a„ = 2u„_, + a„_ 2 — 1 ist; das Glied — 1 ist der Appendix.Auch für solche Reihen bestimmt Riccati das allgemeine Glied.Dabei geht er schrittweise vor, indem er zuerst Reihen „erster Ord-nung“ oder „ersten Grades“, d. h. solche behandelt, bei denen dieRekursionsformel a v = ta n _, + a ist. Für sie tindet er als allge-

meines Glied «„ = «,/"“ 1 4- a t _\ ■ Dan11 g ellt Riccati zu

Reihen zweiter Orduung oder zweiten Grades über, d. h. zu solchen,bei denen a n = ta n i + sa n _ 2 -f- a gilt, wo t, s, a konstant sind, sodaß jedes Glied aus den beiden vorhergehenden berechnet werdenkann. Die Bestimmung von a n in independenter Weise wird auf diebei gewöhnlichen rekurrenten Reihen zurückgeführt, wobei dann einequadratische Gleichung zu lösen ist. Induktiv ergeben sich weiterdie Resultate für rekurrente Reihen mit Appendix beliebigen Grades.

Im ersten Teile des zweiten Bandes der „Opuscules mathema-tiques“ von d’Alembert 3 ) findet sich als 65. Memoire ein Aufsatzüber die Reihen, deren erster Paragraph von Konvergenz und Divergenzunendlicher Reihen handelt, und sich insbesondere auf die Entwick-

*) Mem. presentes p. div. Sav. Paris 1768, V, p.153—174 und auch CommentBonon. V, 1767. *) Paris 1768, p. 171.