Abschnitt XXI.

lung von (1 + g) m für willkürliche m bezieht. Nach d’Alembert konvergiert (divergiert) eine Reihe an einer Stelle, wenn der Betragjedes folgenden Gliedes kleiner (größer) ist, als der des vorhergehenden;er bemerkt dabei aber ganz zutreffend, daß die Reihe im Unend-lichen konvergieren müsse, um richtige Resultate zu geben, und gibtfür diese eigentliche Konvergenz als Kriterium an, daß der Betragvon g kleiner als 1 sein müsse; „sonst liefert sie falsche Resultate,auch wenn sie bei g > 1 anfänglich konvergiert. Eine solche an-fängliche Konvergenz kann sehr weit hinaus bestehen, z. B. bei

( 200 \ 1

l+jggj 2 , WO die Divergenz erst mit dem 300 8t<)n Gliede beginnt“.

Er betrachtet eine Reihe als „vollkommen“, wenn ihre Glieder gleichvom ersten an abnehmen, und wenn sie sämtlich das gleiche Vor-zeichen haben. Er zeigt, wie man bei (1 + g) m stets die erste Forderung

B- (1 + 1)*- 2 3 ]/l

verwirklichen kann, indem man z. B. (1 + 1)'* = V1 — — setzt;

2 f 9

i • SO SO^ SC^

oder indem man bei der Reihe sin * = T! - 3! + 5! -••• für g roßex besser (x — 2nx) einsetzt, wo n so gewählt wird, daß der Klammer-

wert möglichst klein ist.

lin Jahre 1769 beschäftigte sich Euler mit der Summation vonReihen, deren Koeffizienten mit den Bernoullisehen Zahlen eng Zu-

sammenhängen 1 ). Statt der Bernoullischen Zahlen *, ,* 0> -T,

H6’ <+ 3 7j> 6’ ß etrac h tet Euler ihre Produkte mit bez. den Zahlen

6, 10, 14, 18, 22, 26, 60, ...; er benennt diese Produkte 21, 23, 6, ®,G, 3, . ., so daß

© = 35

wird, und geht von ihnen zu einer neuen Reihe von Zahlen

über, h iir A, B,C,... bestehen zwei Sorten von Rekursionsformeln; einmal

und andererseits auch 5 B = 2A 2 , 7 C = 4 AB, 9 1> = 4A C + 2B 2 ,

') Nov. Comment. Petrop. XIV, pro 17G9, p. 129—167. (Auf dem Titelblattsteht irrtümlich 1759.)