Reihen.

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11J*,’ = ±AD 4 4/76', ... Euler sucht nun die Summe 21 vonReihen zu bestimmen, die die Form haben

uAx- + ß Bx l 4 yCx 6 + d I>x* + • ■ •,

wo «, ß, y, ö, . . . gegebene Größen sind. Nimmt man z. B.

ß = /3 = y = <J = ...= l,

so folgt

21 = Ax 2 4 Bx 4 + Cx* 4 ■ ■ ■ = (-^ x 2 — 4r x 4 4 ^ x 6 ■

+ —)- >

-)

1

- x c-otg x,

und daraus erhält man A — B 4 C — 1) 4 • • • = g , _ 1 •

Ferner gibt dieselbe Formel durch Differentiation das Resultat

A Ar 2 4- — Bx 4 4- 1 Cx 6 + ■ ■ ■ = 1 lo<' x ■

2 ' 4 J3X ' G L X ' 2 n sinx

Eine andere Quelle für summierbare Reihen liefert die Formel(Bd. III, S. 678 dies r Vorlesungen)

2 s-2 /*<**+*+4£

B d a X C dK V2* rfx 3 + 2 4 (Ix 6

hier ist „das summatorische Glied“ X (ibid. S. 657j eine Funktion vonx, und S ist = 21X, wo die Summe über die Werte x — 1, 2, 3,... x

erstreckt wird. Zunächst setzt Euler X = \ bei n > 1; dann wird

x

S — 1 4 1 4 1 - 4 • ■ • 3— 1 un d m an erhält2" 3" x n

s

1

2 x‘

,n

1

(ll-l)x"- 1

- o -

iiA

2 X

n + 1

n(n 4 1) ■ • • tu 4 V2 5 x" + ä

;<(/! 4 1 ) (/! 4 2) A2»x" + :i

C n(n 4 1). ..(n 4 fi)J6+ “ 2 ; x n + 7

In dieser Formel ist 0 die Integrationskonstante, die durch besondereAnnahmen bestimmt wird. Für n = 2 z. B. erhält man

2! A2x'

4! B 6! C2 3 x 3 ' 2 6 x 6

• ■ • = Ox 2 — x 4 -7 ~

X

1

Für n = 4 ergibt sich

4! 4 _ GIB S'.C _2x 2’x 3 ' 2 6 x 6

3! Bx'x 4 - 3 - 2* 2 - 6x- ( V ~) ■