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Abschnitt XXI.
Setzt man den „terminus summatorius“ X = logx, so ergibt sieh
Dies dürfte zur Charakterisierung der Abhandlung ausreichen. —Euler hatte bereits in Kap. XIV der „Introductio“ Reihen vonder Form
sin d + sin(a -f b) + sin(a + 2b) + ••■-)- sin (a + nb)
oder
cos n -f cos (« + /;) -f cos (a + 2b) + • • • + cos (a n b)summiert. Der Abbe Charles Bossut 1 ) löste im Jahre 17t59
M
vierzehn derartige Aufgaben wie J^icos vq)* für x = 1, 2, 3, 4;
^ (cos vq sin vqY usw. Diese Arbeit würde kaum erwähnenswert
sein, wenn sich nicht weitere, wichtigere Untersuchungen an sieangeschlossen hätten, auf die wir bald eingehen werden.
Condorcet veröffentlichte im gleichen Jahre und im gleichenBande 2 ) einen Artikel „sur la nature des suites infinies“. Bedürftees noch der Bestätigung für unsere, oben (S. 257) ausgesprocheneAnsicht, daß Condorcet ein zwar ideenreicher, aber unklarer Kopfgewesen sei, so würde diese Arbeit sie liefern können. Es gibt, wieder Verfasser meint, drei Arten von Reihen, solche wie
a + bz + cx- + dx 3 + • • •
für x < 1, bei denen der Rest unendlich klein wird; die gleichen fürx > 1, bei denen der Rest unendlich groß wird, und solche wie
a + b cos x + c cos 2 x + d cos 'dx + • • •
bei denen der Rest endlich bleibt. Im ersten Falle ist die Reihegleich der Funktion, aus deren Entwicklung sie entsteht, im zweitenFalle nicht 3 ). Für diesen zweiten Fall gibt Condorcet als Beispiel,
daß (1 + x + x 2 + • • •) + ( ^ + • • •) nicht durch
ersetzbar ist, sondern nur durch
, 30+1
,30 + 1
* + 1
X — 1 1 J_
X
X — 1
erste Anschauung trifft sich mit der Eulers, der sie aber auf alle Reihen be-