Reihen.

265

Der dritte Fall ist der, daß eine gewisse endliche Anzahl von Funk-tionen durch ihre Entwicklung die Reihe gibt; ihre Summe dividiertdurch ihre Anzahl liefert den Wert der Reihe. — Vollkommen un-klar sind die Darlegungen über Transformation divergenter Reihen inkonvergente. — Des weiteren integriert Condorcet Differential-gleichungen wie dyYl — x* * = dx oder Funktionalgleichungen wie<p (x + q) = <p (x) in Reihenform durch die Methode der unbestimmtenKoeffizienten, wobei er darauf aufmerksam macht, daß die als Lösungvorausgesetzten Reihen mit den zu bestimmenden Koeffizienten dieallgemeinste Form der Lösung haben müssen, wenn man die Auf-gabe umfassend behandeln will. Hat eine Differential- oder eine Funk-tional-Gleichung mehrere, ihrer Form nach verschiedene Lösungen, somüssen alle diese Formen berücksichtigt werden.

Wir knüpfen hieran die Erwähnung, daß Condorcet 1770 einenkurzen Beweis für die oben (S. 210, 258) besprochene LagrangescheUmkehrungsformel gab 1 ). Eine Verifikation des gleichen Satzes stammtvon Audr. Joh. Lexell 2 ).

Wir kommen nun zu drei Arbeiten von Daniel Bernoulli *),die gleichfalls die Prinzipien der Reihentheorie behandeln. Der Titelder ersten lautet: „De suinmationibus serierum quarundam incongrueveris earumque interpretatione atque usu“. Dieses „incongrue verum“ist ein charakteristischer Verlegenheitsbegriff, der sich glücklicher-weise nicht adäquat ins Deutsche übersetzen läßt. Reihensummenkönnen „in concreto“ falsch, „in abstracto“ richtig sein, indem siedurch legitime Schlüsse hergeleitet werden. So kann die Gleichung

i —i + i —n- — 4-

als falsch aufgefaßt werden, da bei fortlaufender Summierung immernur 1 oder 0 herauskommt; — aber auch als richtig, da aus der

richtigen Gleichung j ^ = 1 — x -{- x* — a ; 3 + • ■ • für x = 1 jenesResultat entspringt; genau wie bei der, ohne Determination als richtig an-genommenen Gleichung — - 5 - = cos x + cos 2x + cos 3:r-|-füra: = ;r.

Setzt mau endlich 1 — 1 + 1 — 1 -j- • • • = S, so wird 1 — S = S alsowieder S — y . Unterstützt wird der Glaube an die Richtigkeit dieser

zieht; die dritte mit der sofort zu besprechenden Daniel Bernoullis (vgl.Band III 2 , S. 693).

*) iliscell. Taurin. V, 1770, p. 7—9. 2 ) Nov. Comment. Petrop. XVI pro

1771, p. 220. *) Nov. Comment. Petrop. XVI pro 1771, p. 71; ibid. XVII pro

1772, p. 3; ibid. XVTII pro 1773, p. 3.

Cantor, Geschichte der Mathematik IT.

18