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Abschnitt XXI.

Überlegungen dadurch, daß man aus solchen Reihen richtige Resultateherleiten kann, wie die Reihe für ^ ^ z. B. nach Integration bei x= 1

den richtigen Wert von log 2 gibt, und da „ex falso verum numquamlegitime deduci potes+. Bernoulli leitet dann

1 — 1+0+1 — l+0 +--- = -g,

dagegen

1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 +- -3

her; aus der Entwicklung

(l + *)’ =1 - 2a: + 3a:S - 4 * 3 + ---

bestimmt er

1 _ 2 + 3-4 + •■■ = -,

usf.

Im zweiten Aufsatze geht Bernoulli von der Reihe, wie Euler sie summiert hatte (siehe Band IIP, S. 717)

cos x + cos 2x + cos 3 a; + • • •

1

¥

aus, kommt durch Integration auf

sin x + 4" sin 2x + 4- sin 3x + • • • = C — 4- x

i 6 *

und bestimmt die Konstante der Leibnizschen Reihe für x = alsC = y ; (x = 0 liefert einen unrichtigen Wert für C). In ähnlicherArt geht es weiter auf

cos# + cos 2x + 3, cos 3a: + • ■ • = yjr — \usw. Die a. a. 0. erwähnte Reihe

1 .

— Binx

sin x + sin 2x + sin 3a; + • • • = - _ cos xliefert durch Integration

cos x + ” cos 2a: + \ cos3* + ..-= * l 2 (1 _* cos x) ,

usw.

Erst nach der Veröffentlichung dieser Arbeit hatte Daniel Ber-noulli die oben (S. 264) besprochene Arbeit Bossuts kennen ge-

n n

lernt, in der die Summen ^ cos xq, ^sin xq, ... abgeleitet waren,

* = 1 * = 1

und untersucht in der dritten Arbeit, wie man vom Resultate Bossuts