Reihen.
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, • o , , sinnTl-hcosg — cos no — cos(n -4- l)gl
sin q -f sin 2 q + ■ • • 4- sin nq = ——!-2- 1 -L_ T
* * * 1 — cos 2 q
bei der Annahme « = oo zu dem Eulerschen Resultate
1 .
2 sm9
sin q -+- sin 2q 4- ■ ■ ■ = --
1 1 — COS q
kommen könne. Er fragt sich: Was ist für sin ooq, was für coscc q, usw.zu setzen, wo doch kein bestimmter Wert mit Notwendigkeit sich dar-bietet? Und er antwortet: „Gemäß der Natur des Unendlichen muß einWert genommen werden durch die Forderung, die gesunden metaphy-sischen Grundsätzen entspricht, daß alle möglichen Werte in der gleichenWeise berücksichtigt werden: der wahre Wert muß daher gleich derSumme aller möglichen Werte, dividiert durch ihre Anzahl, sein, also= 0. Das ist rein metaphysisch, nicht geometrisch.“ In der Tatgeht durch diese Annahme der Bossutsche Wert in den Eulerschen über.Diese Theorie beruht nach Bernoulli auf zwei Voraussetzungen; zu-erst, daß die Glieder der unendlichen Reihe in Perioden geteilt werdenkönnen, die sich unendlich oft in gleicher Gliederfolge wiederholen;zweitens, daß die Summe der Glieder einer, also jeder Periode gleich0 ist. Die erste Annahme ist bei den Reihen ^ (sin zg)*, _2f(cos xq) xerfüllt; denn wenn auch q kein aliquoter Teil eines Vielfachen derPeripherie ist, „so kann doch die Periode als aus unendlich vielenGliedern bestehend angesehen werden“. Die zweite Annahme istnicht immer erfüllt, z. B. dann nicht, wenn (sinoog) 2 , (cosoog) 2 auf-tritt. Bernoulli stützt sein Vorgehen auf die Analogie mit derWahl eines Mittelwertes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
o
In einer unmittelbar sich anschließenden Abhandlung 1 ) behandeltauch Euler , aber von anderem Standpunkte aus die Summen
(sin <f) x + (sin 2qr)' + • • • + (sin nq)'-
und
(cos <pY + (cos2(jr.)* + • • • + (cosng:/,
die er durch Einführung von Exponentialgrößen statt der Winkel-funktionen umformt und für X = 1, 2, 3, 4 wirklich herstellt. Dann(§9) geht auch er zu n = ao über. Dabei wahrt er Bernoulligegenüber seine eigenen Anschauungen über die unendlichen Reihen.„Der berühmte Verfasser der vorstehenden Abhandlung gibt in diesemFalle die Summen sehr geistvoll auf Grund metaphysischer Über-legungen an, bei denen wir uns in der Analysis durchaus beruhigenkönnten. Ich habe schon früher, auf allerstärkste Gründe gestützt,
’) Nov. Comment. Petrop. XVIII, 1773, p. 24.
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