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Abschnitt XXI.
darauf hingewiesen, daß in diesen Fällen dem Ausdrucke „Summe“eine andere, der Analysis angemessenere Bedeutung beigelegt werdenmüsse. Diese neue Bedeutung muß meiner Ansicht nach so fest-gestellt werden, daß als Summe jeder unendlichen, konvergenten oderdivergenten Reihe die analytische Formel angesehen wird, aus derenEntwicklung die Reihe entspringt.“ Auf die Fragen, oh stets eineund ob auch nur eine solche analytische Formel vorhanden ist, gehtEuler nicht ein. Daß übrigens Euler doch nicht so ganz von derRichtigkeit seiner Anschauungen über die Reihen überzeugt war, läßtsich aus einer Stelle einer anderen Arbeit 1 ) entnehmen, in der er1 — ]/2 + ]/:’> — j/4 + j/o — • • • = 0,380317 . . . berechnet. Da heißtes dann, „daß diese Gleichungen absolut richtig seien, möchte ichweder hartnäckig noch mit Zuversicht behaupten“.
Am Schlüsse zeigt Euler , wie man aus der bekannten Summeeiner Reihe uz + bz 2 + cz 3 + • • • -+- hz" durch Einführung von
die Summenund
z = x (cos cp Y— 1 sin <p)ux cos (p + bx 2 cos 2qp + • • • + hx" cos >i(pax sin <jp + bx * sin 2qp + • • • + hx" sin ncp
herleiten kann und wendet dies Verfahren auf a = b = c — ••• = /t= 1und auf a = 1, b = c = * ,•••,/» = an.
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Wie Euler , so richtete sich auch Anders Johann Lexell, dergleichfalls Mitglied der Petersburger Akademie war, gegen die An-sichten D. Bernoullis 8 ). Er bestreitet, daß von Perioden die Redesein könne, wenn q zu % in irrationalem Verhältnis stehe, und meint,daß selbst wenn cos nq für n = oo gleich Null gesetzt werden dürfe,doch cos nq + cos (n + l)q nicht auch gleich Null sei, wie Ber-noulli es angenommen hatte. Im letzten Punkte übersieht er aberwohl die Begründung, die Bernoulli seiner Annahme beifügte.
Aus dem gleichen Jahre stammt noch eine Abhandlung Eulers,die erwähnt werden mag 3 ). Euler setzt
{p + 2 Y^r + 2 ( a ~ yi) (p ~ = M
und stellt dann den Ausdruck [« + 2 v] durch [n + v\ und [«] her;ferner den von [2w] durch [»] usf. Ist [«■]' der Wert, der aus [n]entsteht, wenn a und b durch andere Werte a und b' ersetzt werden,dann besteht eine quadratische Beziehung zwischen [m] und [»].
*) Nov. Commeut. Petrop. XVII, 1772, p. 173. *) Ibid. XVIII, 1773, p. 37.
*) Ibid. XIVII, 1773, p. 198.