Reihen.
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Der italienische Mathematiker Ant. Mar. Lorgna veröffentlichte 1 )1775 eine Arbeit, in der er eine große Anzahl von Reihen gewissenCharakters summieren lehrte. Die Reihenglieder besteben nämlich ausBrüchen, deren Zähler und Nenner Produkte aus Faktoren von derForm (a + bz ) sind; dabei sind a und b für alle Glieder der Reihekonstant, während z die Ordnungsziffer des Gliedes bedeutet, so daßalso z = 1, 2, 3, . . . zu setzen ist. Die Abhandlung teilt sich in fünfKapitel. Das erste beschäftigt sich mit Reihen von der Form
1 . 1 + 1 +-J-. + ....
d T #4-l T ii-)-2 T Ä + 3 T ’
das zweite mit Reihen
00
y ,_ ri _
Ai + z ) ■ • ■ O r + z ) ’
wobei nacheinander r = 2, 3, 4,... gesetzt wird. Als Beispiel diene die
Keihe 3 1 « + 6 + 9^6 + ' ' • + 3.(42 + I) + ' ’ - lm dntte, ‘ Ka P ltel
00
handelt es sich um y*... —;—r i im vierten Kapitel tritt
f^-Oi + *)••■(+ + + y
noch ein zweiter linearer Faktor (b + z) in den letzten Zähler. Das
fünfte Kapitel behandelt die Summen 1 + 1 + —r + ^ + 1 + • • •.x -i- cyT\ 1 ,^n ‘ .Ti
Die Berechnung seiner Summen gründet Lorgna darauf, daß er dasallgemeine Glied der Reihe als Integral darstellt, die Summe der Inte-grale bildet und das Resultat nach Möglichkeit vereinfacht. DieserMethode werden wir noch mehrfach begegnen.
Im gleichen Jahre 1775 gibt Euler die Summation gewisserReihen von besonderer Gestalt 2 ). Es sind dies Reihen
1 + i ( 1+ ^)+ 8" t 1 + 2" + £) + 4» ( ! + 2" + 3» + 4») + '"’
die er der Abkürzung wegen durch
O O
setzt er auch / - 1 = 1 + - +- 1 + 1 + -••.J z m 2 m 3“ 4’“
lationen von der Form
bezeichnet. ÄhnlichEs gelten für sie Re-