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Abschnitt XXI.
Zum Teil beweist Euler diese Formeln, zum Teil stützt er sie nurauf unstrenge Induktion.
Da früher die Behandlung der Kettenbrüehe mit der der Reihenzusammengenommen wurde (IIP, S. 693), so müssen wir uns, diesemPrinzipe treu, jetzt zu einer Abhandlung von Lagrange wenden 1 ), diesich auf die Verwertung der Kettenbrüche bei der Integration vonDifferentialgleichungen bezieht. Die Verwertung von unendlichenReihen zu diesem Zwecke ist näherliegend; Lagrange benutzte sieschon früher; sie hat aber den Ubelstand, daß auch rationale Lösungenin die Form unendlicher Reihen treten. Das fällt bei Kettenbrüchenfort. Ist eine Differentialgleichung zwischen x und y gegeben, so be-stimmt Lagrange zunächst das Anfangsglied £ der Entwicklungvon y nach Potenzen vom x bei kleinen Werten dieser Variablen;
dann setzt er y = in die vorgelegte Gleichung ein und erhält
dadurch eine Gleichung zwischen x und y i : diese wird in gleicher Weisebehandelt; sie führt auf y. — -f 1 - - usf. Man kommt sonach
zu y = £ / 1 -f £ t / 1 + Jj 2 / 1 + £3 / • • • • Die £ treten in der Formax a auf; der Exponent a wird durch eine Methode bestimmt, dieals analytische Form des Newtonschen Parallelogramms bezeichnetwerden kann; a wird durch Lösung einer i. A. linearen Gleichunggefunden. Als Beispiel behandelt Lagrange die Integration von
my + (1 + x) = 0 und kommt zur Kettenbruch-Entwicklung
(1 + x) m = 1 + mx j 1 - J- X j 1 +
2-3 /
/ _ (m — 2 )jcl
I 2 ■ 3 /
(m + 2)® 1 1 _ (m -^Syx j . (m + 3)x ' _
2 • 5 / 2 • 5 / 1 2-7
Daraus ergeben sich weiter Kettenbrüche für 1(1 + x), & usw. DasBeispiel 1 = (1 + £ 2 )^ führt auf
arc taug#
, a; s /, 4 • x- I , , 9i ! I, ,
3.5/ 1 + 5~/ 1 +
16 ®
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1 +
Wenden wir den Blick nach England auf die Veröffentlichungenin den Philosophical Transactions der Londoner Royal Society , sostoßen wir auf drei Arbeiten über Reihen, die der Zeit nach hierher ge-hören. Ch. Hutton 2 ) gibt bequeme, schnell konvergierende Entwick-lungen zum Zwecke der Berechnung von % } die sich auf die Formel
arctanga; =
x°
T
+ ■
stützen und die Zerlegungen