Reihen.
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arc tg 1 = arc tg * + arc tg * = 2 arc tang * + arc tang -i-
benutzen. Diese Art von Zerlegungen wird eingehend untersucht; siehängt von den Werten ab.
Fr. Maseres 1 ) wandelt die Reihe a — bx + cx 2 — dx s ff- ex 4 -
bx D'x i D" x* D"'x*
1 -fx ~ (1 ff- xY ~ (1 ff- x s ) ~ (1 ff- x*) ~kannten I)', I)", . . . um; er will damit, wenn «>6>c>rf>...;
a — b > b — c>c — d, . . .; a — 2fc ff- c > & — 2c ff- <7 > . . . usf., undx < 1 ist, eine raschere Konvergenz der Reihe erzielen. Für dieD', D”, D"' ,... findet er die Differenzen erster, zweiter, dritter,... Ordnung
in die Form a — „ ,—
mit unbe-
b — c, b — 2c + d, b - 3c + 3<7 — e,
Von dieser Umformung macht er eine Anwendung auf die eben be-sprochene arc tang-Reihe, sowie auf die Pendel-Schwingungsdauer.Eine zweite Arbeit 2 ) von Fr. Maseres läuft darauf hinaus, daß er für
die harmonische Reihe x + —- + -f- — -f- ~r- + • • • als Annäherung
-l
den Wert 6[(1 — x) b — 1] bei sehr großen b benutzt. Für b setztder Verfasser der Abhandlung IO 12 ein.
Bossut gibt 8 ) ohne theoretische Begründung eine praktischeAnweisung für die angenäherte Umkehrung von Reihen. Ein Beispielwird am besten sein Verfahren erläutern: aus der Gleichungt = x + n sin x soll x durch eine Reihe
x = t -f- A sin t + B sin 2t + C sin 3£ -j- D sin + • • ■
dargestellt werden. Bossut bricht die Reihe nach den hingeschrie-benen 5 Gliedern ab und bildet von der so entstehenden, als angenähertrichtig angenommenen Gleichung die 1., 3., 5. und 7. Ableitung; die-selben Ableitungen erhält er aus der vorgelegten Gleichung als
^ = . 1 - = 1 — n cosn + w 2 cos 2 n — w 8 cos 3 a: -f- n 4 cos 4 # — • • •,
at 1 -|- n cosa: 7
wo auch die weiteren Glieder unterdrückt werden. Dann liefert t = x = 0vier lineare Gleichungen, die zur Berechnung von A, B, C, D ausreichen.
In dem gleichen Bande der Histoire de l’Acad. Paris 4 ) findet sicheine Abhandlung von Laplace, die sich mit Differenzenrechnung undmit Reihen beschäftigt. Ist u eine Funktion von a, a 3 . . ., und