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Abschnitt XXI.

wird m = («) + uq lw + u*q m +-b «^„io -b + • • • ge-

setzt, wo (m) den Wert von « für « = «j = « 2 = • • ■ = 0 angibt, sofindet man durch Differentiationen den Wert

m! «,!»!,!... \da” duf'du."'.. J '

Wenn dann etwa u = qc(« + t, «j + « 2 + f 2 , . . .) genommen wird,

so ist offenbar die letzte Klammergröße gleich

/ d n+n 1 +n t +--- u \ _ (} n + », + n, + - y ^ ^ _ )

dfdt^'dC'... ’

man kommt somit auf die Taylor sehe Reihenentwicklung.

Nimmt man u als Funktion einer Größe x an, die durch die

Differentialgleichung ^ — z^ definiert wird, in der z eine beliebige

Funktion von x bedeutet, dann kommt man auf ähnliche Art zu derLagrangeschen Reversionsformel. Nach derselben Methode lassen sichviele andere, zur Differenzenrechnung gehörige Formeln herleiten, diebereits Lagrange aufgestellt 1 ) und zum Teil bewiesen hatte.

Das Studium der Lainbertschen algebraischen Arbeiten führteEuler zu der Aufgabe, die Lambertsehe Reihenentwicklung derWurzel einer trinomischen Gleichung zu verifizieren 2 ).

Es mußte dabei folgendes gezeigt werden: Wenn x eine Wurzelder trinomischen Gleichung (« — ß) v ■ x a+ (* = x a — x? bedeutet, sogilt für jedes w die Gleichung

x n = 1 -b nv + n{n + a + ß)v-+ *, n o< +' u + 2/3) (n + 2« + ß)v s

+ *,«(»( + « + 3ß)(?i + 2« + 2/3) (m + 3a -f ß) i A -f -.

Euler geht bei dem Beweise folgendermaßen vor. Er betrachtet dierechte Seite der zu beweisenden Gleichung als Funktion von n, setztsie gleich S(n) und zeigt, daß S{n — ß) — S(n — a) = (« — ß)vS(ji)wird. Diese Funktionalgleichung läßt sich integrieren und führt zudem Schlußergebnis, daß S(n) = x n ist.

Für a = ß geht die trinomische Gleichung über in logx = vx.Man erhält für a = 1

1 _ | n + 2 v s | (“ + 3 ) ! ,.3 | (” + 4 ) 5 .4 |

+ ~sj - * ' 41 +

und

"+J„x^a!’ > + 3 !V

T=lx - 1 + --iT v + - J ii- v +

3!

v* +

*) Mem. Acad. Berlin 1772.pars II, p. 29.

*) Nov. Comment. Act. Petrop. XX, 1775,