Reihen.
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Aus dem Jahre 1779 stammt eine umfangreiche, das Gebiet derDifferenzenrechnung nahe berührende Arbeit von Laplace 1 ). Ist
y x eine Funktion von x, so heißt u = ?/ 0 + y t t + y 2 t 2 -\ - (“24^+
die erzeugende Funktion von y x . Bezeichnen wir die Differenzen24+i - 24 = &y x ; Aj4 + 1 - A \j x = A 2 y x , ... und setzen
Vy x - «24 + &24 + 1 + cy x + t •■■+ +
S = a + b • + c • ~ + ■ ■ ■ + q ■ l ,;
dann ist die erzeugende Funktion von A'V i «/ x _ r . Insbe-
sondere geliört V'i/ X zur erzeugenden Funktion ms*. Wird * negativ,so treten Summen statt der Differenzen A* auf; u ^1-
ist die erzeugende Funktion von ^‘y x . Hieraus folgt, daß V'// xdurch einfache Entwicklung algebraischer Funktionen gefunden werden
kann. Bildet man z. B. u : = u ^1 + j-j — l) und entwickelt die
rechte Seite, so entsteht
24+< = 24 + ' A 24 +
i (i — 1)1-2
A 2 24 +
i (i — 1) (i — 2)1-2-3
A 3 24 +
Dadurch, daß der Wert von y x + i auf diese Reihen-Form gebracht ist,hat man die Möglichkeit, für i gebrochene Werte einzuführen; dasgibt also die Lösung der Interpolationsaufgabe für y x . Laplaceleitet auf diese Art sowohl bekannte, wie auch neue Formeln her. —In großer Ausführlichkeit werden in den Nummern III bis VIII be-sonders wichtige Fälle behandelt. In Nummer IX folgt die Trans-formation von Reihen ; ihre Besprechung würde uns zu weit führen.— Auch auf Reihen von zwei Variablen geht Laplace ein. Ernimmt y u v als Funktion von u und v an und behandelt die „rekurro-rekurrenten" Reihen in ähnlicher Weise, wie er die von einerVariablen behandelt hatte.
Die nächste, der Zeit wie dem Stoffe nach zu erwähnende Arbeitstammt wieder von Euler 2 ). Sie beschäftigt sich mit der Reihen-entwicklung des Produktes(1 — X) (1 — x 2 ) (1 — X S ) (1 — X*) • ■ ■
= 1 — X 1 — X 2 + X b + X 1 — X 12 — £ 15 + • • • .Hierin haben auf der rechten Seite die Exponenten die Form
2 (3m 2 ± «);
und der zugehörige Koeffizient ist gleich (— 1)". Diese merkwürdige Be-