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Abschnitt XXI.
ziehung hatte Euler schon früher in den Nov. Comment. Acad. Petrop. III,1750—1751, p. 155 induktiv hergeleitet und das Resultat in dasKap. XVI, § 323 der „Introductio in Analysin“ aufgenommen. Späterhat er es in den Nov. Comment, Acad. Petrop. pro 1754, 1755, p. 75bis 83 bewiesen. Jetzt, 25 Jahre später, modifiziert er jenen Beweis.Jacobi beschäftigte sich 1840 eingehend mit derartigen Reihen, beidenen die Exponenten eine arithmetische Folge zweiter Ordnungbilden. Er stieß auf solche Entwicklungen in der Theorie der ellip-tischen Funktionen. Jacobi nimmt dabei 1 ) ausdrücklich Bezug aufdiese Eulerschen Untersuchungen, und gibt als interessante Ergän-zung zu dem Eulerschen Satze noch die folgende Entwicklung derdritten Potenz der rechten Seite unserer letzten Gleichung(1 — X — X 2 + X b + X 1 — x n — X 1S + • • -) 3
= 1 — 3 £ + 5 a; 3 — 7 a; 6 + 9 a: 10 — 11 x 15 ;
hier haben die Exponenten der rechten Seite die Gestalt y (w ä -f «);die zugehörigen Koeffizienten sind (— 1 ” (2 n -f 1).
In einer anderen Arbeit des gleichen Jahres 2 ) dehnt Euler dieFormel
w- GMir+©■+■•-
2 • 6 - 10 ... (4 /i — 2)
1 ■ 2 • 3 . . . n
auf gebrochene Werte von n aus; es handelt sich also dabei um eineInterpolationsaufgabe. Er findet mit Hilfe der Integrale, die vonLegendre als Eulersche Integrale zweiter Gattung bezeichnetworden sind,
4 8-16. „/7\ _ 4 8-16-24
3 - 5 ’ ~ * *'“3^5-7“’
*GK. Ä (!K V" *©-!
Ebenso wird für gebrochene n, p, q auch
G)(f) + (i)«i) + --G-+3
behandelt? Das behandelte Problem gehört als Interpolationsproblemeiner Reihe von Aufgaben an, die den meisten Forschern der da-maligen Zeit sehr am Herzen lag.
Von den „Mathematical Memoirs“ von J. Landen 8 ) haben wirdas fünfte „eine neue Methode, um die Summen gewisser Reihen zuerhalten" in unsere Besprechungen zu ziehen. Nach einigen analytischenVorbereitungen geht Landen so vor: Aus den Entwicklungen von
7(1 + u) und 7^1 + ^ folgert er ohne Konvergenz-Bedenkenlu = (m — m -1 ) — (u 2 — u~ 2 ) +- -j(m 3 — u~ s ) — ■
*) Act. Petrop. IV, 1780, pars I, p. 74.