Reihen.

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hierin trägt er lu = z]/~l ein und erhält

2

sin z

1

sin 2 z sin 3 z2 ' 3 ~

In diese Formel setzt er zur Herleitung spezieller Resultate

usw. Die Integration der Formel liefert

Z* roa z ros 2 2 ros 3 Z

wo p" = 1 — p- + p + • ■ • ist; dies wird mittels eines Kunst-griffes = ” 2 bestimmt. In entsprechender Art leitet Landen die Formeln

3 a 7

s

fi 7

(T + 3 -t)

2z■ cos- z

und

3 5 7

COS— Z COB Z

3

cos z

COB — Z2

2 (% —- z)

XZ + -Z-

+ 2* • 3 2 +

her. Aus diesem letzten Resultate folgt

' 2 *. 3*

Im folgenden Jahre veröffentlichte Ed. War in g 1 ) seine „Medi-tationes analyticae“, deren drittes und viertes Buch uns hier inter-essiert. Waring zeigt zum Teil schon moderne Anschauungen überKonvergenz und Divergenz; er sagt: „streben in a-\-b-\-c-\rd+e -\—die Summen a + b, a + h + c, a -\-b + c + d, ... einer endlichenGröße zu, an die sie näher herankommen als eine beliebig gegebeneDifferenz, so konvergiert die Reihe“. — „Die Reihe

konvergiert für n > 1, und für n < 1 divergiert die Reihe. Ist für

beliebige endliche x und n = oo das anendlich ferne Glied a n < -^-i

dann und nur dann konvergiert die Reihe a 0 + a 2 + a 3 + • • •.Wenn für unendlich großes n der Quotient a n :a n+1 kleiner (größer)als 1 ist, so divergiert (konvergiert) die Reihe.“ Wir stoßen also hierauf das bekannte Konvergenz-Kriterium. In die Reihen

*) Cantabrigiae 1781.