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Abschnitt XXI.

1 _J_ a ,= l— x + x 2 — ar’ + .r 4 — x 5 + • • •

1 +* + *’ = 1 -x + x i -x i + x*-x’’+---

i + s+V+V = 1 - * + - * 5 + * 8 - * 8 + - •

setzt Waring zwar x = 1 und erhält dabei verschiedene Werte für1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1+--; aber er setzt bei diesen Herleitungenausdrücklich hinzu (S. 655): „in Wahrheit kann diesen Reihen keineSumme zugesprochen werden“.

Waring ist in erster Linie Algebraiker; das zeigt sich auch hierdarin, daß die Untersuchung gern auf das Gebiet der GleichungenÜbertritt. So werden die Wurzeln u, ß, y, 6 , ... der „infiniten“Gleichung für x von der Gestalt 0 = a — bx + cx 2 — dx 3 + ex 4 —in Zusammenhang mit den Koeffizienten gebracht:

ö O

— = — + - 1 -i- — + ••• • — = 1 - - 1 - -f- ... _j 1 - + ...

a a ‘ ß ' -/ ' ’ a aß ' ay ' ' ßy '

und die Reihe liefert in Faktoren aufgelöst

»■G-SG-flG-f)—°-

wie das schon in den Eulerschen Untersuchungen benutzt ist. — Imvierten Buche geht Waring ausführlich auf Beziehungen ein, diezwischen dem n ten Reihengliede, der Summe der n ersten Glieder undder Ordnungsziffer n selbst bestehen können; ebenso vergleicht erReihen, zwischen deren Partialsummen vorgeschriebene Relationen be-stehen. Ausgiebigen Gebrauch zur Herstellung summierbarer Reihenmacht er von dem Kunstgriff, die Summe zu geben und die Reihendaraus herzustellen. Auf weitere Einzelheiten des umfassenden Werkeshier einzugehen, müssen wir uns versagen; über einige Nachträge zuden „Meditationes algebraicae“ werden wir an gehöriger Stelle zuberichten haben.

Aus dem Jahre 1781 sind noch zwei Eulersche Arbeiten zu be-sprechen. Des besseren Zusammenhanges wegen behandeln wir sie inder umgekehrten Folge ihres Erscheinens.

Die zweite, kleinere Arbeit Eulers 1 ) dehnt die S. 274 behandelte

Summations-Formel für

/p +

\9 + «/

auf andere Symbole

[u] [f ] + [+] [~ q +t] + [y] L-i •• ] + • •

_ r « +p

L ZHi + P

*) Act. Petrop. IV, 1781, II, p. 76.