Reihen.

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aus, wo

a durch die Gleichung

b

(1 + x + x* -|-h* i )" = l+ ["]* + [y ]* 2 + [- 3 ]®® H-

erklärt wird.

Die erste, größere Arbeit 1 ) beschäftigt sich mit Umwandlungender harmonischen Reihe

1 + ¥+ 3 " t 'T~ l - \-~-C + lx + Y¥ _ ¥e" s ' + 4aP 6x«+8x 8

in der, verschieden von früherer Bezeichnung (vgl. S. 262),

die Bernoullischen Zahlen sind, und (7= 0,5772156 649... die Kon-stante bedeutet, die später die Bezeichnung „Eulersche Konstante“erhalten hat. Setzt man

wobei die Summen von n = 1 bis n = 00 erstreckt werden, dannfindet Euler

1 ) + l (ß - lj + l (y - 1 ) +

ferner

ebenso

und andere Beziehungen mehr. Euler gewinnt dabei den Anschlußan bereits früher von ihm angestellte Untersuchungen (Band III 2 ,S. 657) und liefert hier den Beweis für die, dort in der Gestalt

I Xdx uX ß

t'

gegebene Summenformel. Dabei ist X eine Funktion von x etwa X(x)und S(x) = X(x) + X(x + 1) + X(x + 2) + ■ ■ ■ oder, wie Euler kürzer schreibt, S = X + X' X" + X'" + • • •.

Ein ähnliches Problem beschäftigt Euler auch weiterhin. 2 ) Erfragt nach der Summe S = X — X' + X" — X'" + ■ ■ •. Ist die-selbe Summe, in der nur x durch (x -(- 1) ersetzt wird, so hat man

S + S' = X und erkennt daraus, daß in erster Näherung S = *Xund, bei noch unbekannten Koeffizienten a, ß, y, . . ., weiter

') Act. Petrop. IV, 1781, II, p. 45.

1784, p. 4G.

*) Nov. Act. Acad.. Petrop. II pro