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Abschnitt XXI.

X+u

wird. Die u, ß, y, • • • kanu man nun mit Hilfe von Reduktions-formeln bestimmen, und zwar am bequemsten durch die Einführungeiner Funktion

1

«= 2 +«t + ßt 2 + yt 3 + öt i + --..

Euler bezeichnet s — = v und findet als Bestimmungs- Gleichung

dt

Hieraus ergeben sich dann die gesuchten Koeffizienten u, ß, y, . . .,die in enger Beziehung zu den Bernoullischen Zahlen stehen. Ist

•(Introductio in analysin infin. Cap. X, § 168), dann wird

1 v 2 ! — 1 a d X

I b d*X

5! 2 dx s

2" — 1 d d'X' 9! 2 dx 7

2«-lc d*X7 ! 2 dx 6

2 dx

Für diese Entwicklung gibt Euler dann noch einen zweiten Beweis.Ferner behandelt er die Summationen der beiden Reihen

n x X - n x+1 X' + n x +*X" - w*+ 3 X"' H-

x\X - (x + 1)!X' + (x + 2)!X" - (a + 3)!X'" + • • •.

und

Die Arbeit wurde erst nach dem am 7. September 1783 (A. St.) zuPetersburg erfolgten Tode Eulers publiziert. Bei seinen Lebzeiten warenvon ihm allein473 Abhandlungen erschienen; über 200 andere hinterließer. Bis zum Jahre 1830, also beinahe noch 50 Jahre, nachdemEuler die Augen geschlossen hatte, dauerten die Publikationen ihresgrößten Mitgliedes seitens der Petersburger Akademie fort.

Wir kehren zum Jahre 1782 zurück und erwähnen einen Aufsatzvon Nie. Fuß 1 ), der sich auf folgendes stützt. Es seien A, B, C,/),... X, ... beliebige (Jroßen AA, AB, AC, ... die Reihe ihrerersten Differenzen, A 2 A, A 2 B, A 2 Ü, ... die ihrer zweiten Diffe-renzen usf.; dann hat man bekanntlich

X = A + AA-x + A 2 A ■ ^ ~ ^

+ j3 Ä . *(* — D — 2 ) + ...

Daraus folgt

') Act. Petrop. 1782, II, p. 96.