Reihen.

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lim —— A = JA-]-A*A + 4 4*A -\a*A + ■■■-,

die linke Seite tritt dabei unter der Form 0:0 auf. Gelingt es, denwahren Wert dieses Quotienten zu bestimmen, so liefert derselbe dieSumme der rechtsstehenden Reihe. So findet Fuß

l{\ + x) = 1 1 -f- I ” • x l 28 '

x(x —l) ,2*-4 x ( x — l )( x — 2 ) i

1 ■ 2 “ 1 1 ■ 3 1 • 2 ■ 3 '

aus der Annahme X = l{ 1 + x)\ und

2<p cosqp = 2sincp • cos 2a> + 42 2 sin 2 (p sin 3<p — * 2 3 sin 3 <p cos4qp

Z o

— 42 4 sin 4 ip sin5(jp + 4^ 5 sin 5 qp cosüqp + • • •

aus der Annahme X — sin(l + 2x)<p.

Von dem schon erwähnten Italiener Lorgna stammt eine um-fangreiche Untersuchung über Reihensummen. 4 ) Wir können sie abergleichwohl kurz behandeln, da ihr Inhalt im wesentlichen mit demder früheren Arbeit übereinstimmt. In zehn Kapiteln werden ver-schiedene Arten von summierbaren Reihen besprochen. Als neu hebenwir hervor aus Kap. VI die Reihe 1 ! + 2! + 3! + 4! -| -allgemeiner

(a + b)! + (a + 2b)\ + (a + 3b)! -

und

(m + 1) (in -f 2) 2 + (m + 1) ( m + 2) (m + 3) 2

+ (m + 1) (in + 2) (in + 3) (in + 4) (m + 4/ -|-;

aus Kap. VII

12 + (13-212) + (14-313 + 3 12) + (lb-414 + 613-412) +

aus Kap. VIII

p 2(ap b) 3 (ap bp -(- &) 4 1 ap + 2 bp + &)

a (a + &)(l+p) (a + 2 &)(1 + -p) (a + 3&)(1 + 3p)

p 2(ap-)-26) 3 (ap -f- bp -f- 26) 4 {ap -(- 2 bp -f- 2 b)

'2a (a -)- b)( 2 -) -p) (a + 26;(2 -f- 2p) (a + 36;v 2 + 3p)

aus Kap. IX die Doppelreihe

Die benutzten Summationsmethoden sind die gleichen wie in dem

*) Memor. mat. fis. Soc. Ital. I, 1782, p. 268.