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Abschnitt XXI.
oben (S. 269) besprochenen Aufsatze des Verfassers. — Wir wollengleich hier eine dritte Abhandlung Lorgnas erwähnen, trotzdem sieerst 1784, also zwei Jahre später erschienen ist. 1 ) In ihr handelt essich um die Summierung der Reihe
O
aK-±b
aK , + b
1
ri A' -+- b
wo K die Basis der hyperbolischen Logarithmen bezeichnet. Sie wirddurch die Substitution
sin?Hff = 1 — K~ mnm ')/(a = Y~ 1)
geleistet. Dadurch wird
K* + 1 = 2aK* sin : ( K x — 1)K x - 1 = 2<oÄ' J 'sin —M-ST' + 1),
W ' 7
und
so daß in jedem Reihengliede die Summe aus dem Nenner in denZähler geschafft werden kann. — Weiter beschäftigt sich Lorgna mitanderen Reihen und erhält z. B. die Resultate
ll
(i • 12
l
l
4 ■ 10 — 9
+
o
5
1
4 ■ 9~—~9
1
— 5
1
4-4 — 9
5 12
4-16 — 9
Wir gehen nunmehr zu einer, ganz anderen Anschauungskreisenangehörigen Arbeit von Laplace über. 8 ) Bei seinen eingehendenForschungen im Gebiete der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihrerpraktischen Verwertung bei national-ökonomische Fragen war Laplacehäutig auf Formeln gestoßen, die zur Berechnung ganz ungeeignetsich zeigten, weil sehr große oder sehr viele Zahlen in sie eintraten.Handelt es sich z. B. bei hohem Werte des s um die Berechnung von
2 s • (2 s — 1; - (2 s — 2).. . (s + 1)1 ■ 2 ■ 3 . . . s
so wird dies selbst bei der Benutzung von Logarithmen sehr müh-
selig. In diesem Falle hatte Stirling eine bequeme Formel zur an-
genäherten Berechnung jenes Binomialkoeffizienten aufgestellt; inanderen Fällen war, wie wir oben sahen, D. Bernoulli in ähnlicherWeise vorgegangen (vgl. S. 231). Laplace greift hier die Fragefundamental an und bringt sie zur Lösung. Seine umfangreiche Ab-
*) Memor. mat. fis. Soc. Ital. II, 1784, p. 210.p. 1, und 1783, p. 423 (vgl. S. 231).