Reihen.

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liandlung ist aber in derartigem Maße von Formeln durchsetzt, daßeine Darlegung der Entwicklung liier nicht möglich erscheint. Wirmüssen uns auf die Angabe des Zieles der Untersuchung und auf dieMitteilung einiger Resultate beschränken. Das Problem, dem Laplaceseinen Scharfsinn widmet, zerfällt in zwei Teile. Zunächst wird eineIntegration durch unendliche Reihen für solche Integranden hergeleitet,die in hohe Potenzen erhobene Faktoren enthalten. Die hierfür ge-gebenen Reihen konvergieren äußerst schnell. Au zweiter Stellewerden Funktionen, von welchen man angenäherte Werte sucht, auf dieangegebene Integralgestalt gebracht, deren Entwicklung soeben be-sprochen wurde. Diese Behandlung umfaßt alle Funktionen, die durchgewöhnliche oder partielle Differenzen- oder Differentialgleichungendefiniert werden.

Bei solchen Untersuchungen treten Integrale von der Gestalt

00

l‘t 2x e-‘ u + l dt

0

auf. Laplace bestimmt außer dem schon vor ihm bekannten Integrale

cc

j e~ t 'dt =

u

noch andere wie z. B.

3

j t i c~ l 'dt = % x : (dVffU^ n- 1 ),

0

wo .-r 1 die Stirlingsche Konstante 1,311028777 . . . bedeutet, die zurLänge der elastischen Kurve in enger Beziehung steht. Der dritteAbschnitt der Laplaceschen Abhandlung liefert Anwendungen dererhaltenen Resultate auf schwierigere Probleme der Wahrscheinlich-keitsrechnung.

Ein Aufsatz, der vielfach an die Arbeiten von Lorgna erinnert,stammt von dem Engländer Samuel Vince . 1 ) Im ersten Teile geht

der Verfasser von der Bemerkung aus, daß die Integration von j x r

durch Logarithmen und Kreisfunktionen ausführbar sei, und daßandererseits die Reihenentwicklung des Bruches mit nachfolgender,von 0 bis 1 erstreckter Integration die Summe

1 - 1 ' 1 _ 4 -

r|l T r-(-ä )• + 3 '

ergebe. Daher kann die Summe S dieser Reihe durch die angegebenenTranszendenten ausgedrückt werden; S wird als bekannt angesehen.

‘) Phil. Transact. London , for 1782, p. 38i).

Cantok, Geschichte der Mathematik IV.

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