Reihen.

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Im dritten Teile gellt \ ince von der Bemerkung aus, daß ineiner unendlichen Reihe, deren Glieder nach Null konvergieren undabwechselnde Vorzeichen haben, aufeinander folgende Glieder in einszusammengefaßt werden dürfen, wie bei

1 13~ — 4

r: 2 +

-1

1

2 • 3

1

4 • 5

1

6 ■ 7

7

1

5 • Ü

daß dies aber bei Reihen, deren Glieder nach einer endlichen Größe=4=0 konvergieren, nicht erlaubt sei; daß also nicht

l

A + ±_± + A_ e + ...

3 ' 4 5 ' 6 7 '

1

i • 2

1

5 ■ 6

1 1

2 ~3 _ i ~5

(T 7

Es müssen also bei solcher Zusammenfassung noch Ergänzungsgliederbeigefügt werden. Daserklärt sich (an den obigen Beispielen) so: Die

Heihe — — --- ———••■ „hört im Unendlichen auf' - , da ihre

Glieder 0 0 • • • werden; die Reihe ,-- 4 - --«eht im

' 2 3 4 5 ■

Unendlichen noch fort“, da sie die Gestalt 1 — 1 + 1 — 1 • • • annimmt.

Die Wahrung der Gleichheit fordert also, daß man zum Ausdrucke

— j 77 g — j- 1 . — • • - noch 1 — 1 | 1— 1 + • ■ • hinzufüge. Und das

hat „bekanntlich“ den Wert * • Genau aus den gleichen Gründen

wird bei + 3 * ^ . 1 ß ■ das Ergänzungsglied

sein. Es ist interessant zu sehen, welche wilden Schößlinge die Lehrevon den divergenten Reihen treibt, und wieviel Scharfsinn auf dasDogma von der Summe solcher Reihen aufgewendet wurde.

In dem Euler sehen Werke, dessen erster Teil 1783, in des Ver-fassers Todesjahr, dessen zweiter 1785 zu Petersburg erschien und denTitel „Opuscula analytica“ trägt, finden wir Reihen-Untersuchungen.Gleich die erste Abhandlung (p. 3) des ersten Bandes gehört hierbei-.Das in ihr behandelte Problem ist etwas unbestimmt gedacht undausgedrückt: Eine Reihe von Zahlen A , B, C, D, E, F, • • • ist ge-geben, und eine andere a, b, c, d, e, f, ry, • • • soll gefunden werden, sodaß ab = A; bc = B\ cd = U; de = i); ef = E- fg=G-, ■ ■■ wird.Offenbar hängt alles von der Bestimmung des a ab, und dies a bleibtganz willkürlich. Euler sucht nun, ohne es ausdrücklich anzugeben,

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