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Abschnitt XXI.

einen solchen Wert des a, für den die Reihe a, b, c, d, ■ ■ ■ möglichsteinfach sich gestaltet. Er findet für diese, auch so noch unbestimmteAufgabe, da der Begriff der ,,Einfachheit“ unbestimmt ist,

s , A ■ C (' ■ E E ■ Ga ~ A B B ]) ■!) F F

und stellt daraus hei besonderen Annahmen über A, li, (',■■■ das rrdurch Integrale dar. Andererseits entwickelt er « 2 in einen Ketten-bruch und erhält durch Gleichsetzung beider Lösungen merkwürdigeBeziehungen, von denen wir wenigstens eine anführen wollen, nämlich

" -1 + 2/3 + 1 • 3,4 + 3 ■ 5 '4 + 5 ■ 7 '4 + 7 • 9/4 -;-.

Die zweite Abhandlung dieses Bandes führt Eulers frühe Unter-suchungen (S. 260) über die Potenzerhebung von (1+2: + x 2 ) n , ins-besondere über den Koeffizienten von x” in diesem entwickelten Po-lynome weiter, in der ausgesprochenen Absicht, verschiedene analy-tische Kunstgriffe darzulegen, und andererseits zu zeigen, wie vor-sichtig man mit Induktionsschlüssen sein müsse.

Der vierte Aufsatz (p. 85) beschäftigt sich mit Kettenbrüchenund steht in gewissem Zusammenhänge mit dem zweiten Teile desersten Aufsatzes. Mit Hilfe eigentümlicher Relationen werden Glei-chungen zwischen gewissen Kettenbrüchen hergestellt, aus denendurch Spezialisierung folgendes Resultat hervorgeht. Setzt man

p — m + n/(tn + 1) + (w + l)/(w 4- - ) + (w + -)/( m + 3) + • • •,so wird

(n — 1) : p = 1 + (h — m — 2)/(»? + 2) + (» — m — 3)/(»» + 3) 4-.

Daraus folgt der Wert von p für n = nt + 2, nt + 3, m + 4, • ■ •.Auch für n = m + 1 gelingt, freilich auf andere Weise, die Bestim-mung. Setzt man in diesem Falle p — 1 — 1, so wird

_l_i_,_ \ _

03 m + 1 (in + 1) (in + 2) (w + 1) (m + 2) (in + 3)

l

e : Z m (l

Im sechsten Aufsatze (p. 157) wird die Aufgabe behandelt, dieKoeffizienten der Reihe

H = Ax + Ux(x 2 — er) + Cx(x 2 — a 2 ) (a 2 — Ir)

+ Dx(x 2 — a 2 ) (x 2 — b 2 ) (x 2 — c 2 ) + • • •so zu bestimmen, daß y für x = a, b, c, d, ■ ■ ■ die Werte p, q, r, s, • • •annimmt. Für a, b, c, d, ■ • • werden dann irgendwelche Kreisbögen