Reihen.

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(beim Kreis-Radius 1) und für ]>, q, r, s, ■ • ■ ihre Sinus eingetragen;dabei wird allgemein ?/=sin:r. Das liefert

1 =

( 1 . + .

a

\ ü- - (t~

b(,b- — cP) 1

t 1 + c * jt/;-.

+

a-lr

(Ir — cP) (c- — a 1 )6 ’c 5

(c* — 6*) (d* — 6*) '

und führt durch Spezialisierung auf interessante Formeln.

Auch der zweite Band der Opuscula liefert Bemerkenswertes.Im siebenten Aufsatze (p. 102) wird die Zerlegung transzendenter

P

Brüche in unendliche Reihen geliefert. Ist () dieser Bruch, dessen

Nenner eine transzendente Funktion von z ist; ist a eine Wurzeldes gleich Null gesetzten Nenners, so wird der Zähler a desCi P

Gliedes-, das in -r als Partialbruch eingeht, durch

z — a’ Q

Pdz + (z — adPU ~ d{>

gegeben. Diese Bestimmung der Zähler wird auf —, aufn D n sin z ’

z z“ z 5 cosz 1 11

sin z ’ sin z’ eins’ sinn’ cos §—cos z’ ’ sin z- ’ sin z s

angewendet.

Die nächste Abhandlung beschäftigt sich mit der Umwandlungvon Reihen in Kettenbrüche (p. 138) in der Gestalt

ß b + y/c + d d +So wird aus der Reihe 1

- 1 _ 1 , 1 _J ,

91 SB SB IS ^ G® ^

-o- + o

— + ••• = 1'2 hergeleitet

1 :/2 = 1 - 1 2 /1 +271 + 3 2 1 +

und aus 1 — + 4- + • • • = folgt die Brounckersehe Ent-

wicklung 4:7t = 1-f- l 2 2 + 3 2 '2 -(-572 -j— •. Hier mag gleich bemerktwerden, daß Euler auch 1 ) die umgekehrte Aufgabe löste: den Broun-ckersehen Kettenbruch in die Leibnizsche Formel umzuwandeln.

Ferner folgt für s = —-* + * —der reziproke Wert

0 u a. p a p y 1

i = « + «'Xß — 0 + ß/(y — 1 ) + 7'( d - i) s— ••

und aus s = — — + - X 0 -- • • ergibt sich allgemeiner

u aß ußy 0 n

') Nov. Act. Petrop. II, 1784, p. 33.