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Abschnitt XXI.
•7 = « + ccx'(ß — x) + ßx/(y — x) + yx/(d — x) + • • •und dgl. mehr.
Das gleiche Thema wird in einer späteren Abhandlung (p. 217)fortgesetzt. Euler erledigt dabei den Fall, der den früheren Me-thoden nicht zugänglich war, daß alle Teilzähler gleich 1 sind, wäh-rend die Teilnenner eine arithmetische Reihe bilden. Die Lösungwird durch die Integration einer Differentialgleichung vermittelt.
In der zehnten dieser Arbeiten (p. 240) handelt es sich, ohne daßerwähnenswerte Resultate zutage gefördert werden, um die Summe derReihe
3 5 7 11 13 17 19 23 ^ 29 31 + '
Die elfte Arbeit des zweiten Randes (p. 257) gibt eine neue Ab-leitung der Summen 1 + - h 7 !* + • • •, die sich auf
die Entwicklung der beiden Formeln%
n sin
tc ^ Jl s — 1 4 >r — 1 ^ 9 /i*
und
stützt.
h tgr
* ^ n -— 1 4» ! —1 9«*—1
Xacli der Besprechung der auf Reihen bezüglichen Arbeiten inEulers Sammelwerke „Opuscula analytica“ gehen wir zu einem Auf-sätze von E. Waring über. 1 ) Waring betrachtet hauptsächlichReihen, deren allgemeines Glied eine rationale Funktion des Stellen-zeigers oder, wie sein Ausdruck lautet, der Entfernung vom Anfangs-gliede ist. Er geht davon aus, eine gegebene Summe A(x) in einenach Potenzen von x fortschreitende Reihe sich entwickelt zu denken.
Setzt man den Xenner von A(x> gleich Xull, so liefert die, ihremabsoluten Betrage nach kleinste Wurzel dieser Gleichung die obereGrenze für die Konvergenz der Reihe. Das ist also eine bereits voll-kommen moderne Auffassung; bemerkenswert ist, daß hier bei einerkomplexen Wurzel a + 6 )/— 1 statt des absoluten Betrages Ycr + F*die kleinere der beiden Größen a —b , a + b genommen wird. —
Hat das allgemeine Glied die Form ; —:— , , a “ —4-rr- t~^~, -,
2, so kann es in ein Aggregat
' OO O
+ - _ + _ £ — +
' t - 1 - - r - 1 - 1 o' • 1 T
mit m <[ nY
( z + e ) ( z + e + !) ( 2 + < )"'(G e t2) (* + e ) • • • ( z + f + 3)